9 svar
82 visningar

Gruppteori: GLn<SLn<On<SOn?

Hej, med ”<” menar jag delgrupp.

Är påståendet sant?

Laguna Online 14133
Postad: 24 jan 20:48

Vad betyder beteckningarna?

(Du kanske har kommit längre än jag nånsin har varit, men jag gör ett försök.)

Kanske inte! Väcker dessa något minne?

General linear group, Special linear group, Orthogonal group, Special orthogonal group.

Laguna Online 14133
Postad: 24 jan 21:56

Jag fick slå upp det. SO(n) är väl en undergrupp till O(n) och inte tvärtom? 

Oj herregud, alla tecken är felvända!

Laguna Online 14133
Postad: 24 jan 22:04

Jag får det till SO(n) < SL(n) < L(n) och SO(n) < O(n) < L(n), för special har determinant 1, och O(n) kan ha determinant -1.

oggih 871 – F.d. Moderator
Postad: 24 jan 22:11 Redigerad: 24 jan 22:16

Det enda och bästa sättet att reda ut det här är att skriva ner definitionen GL(n,)\mathrm{GL}(n,\mathbb{R}), SL(n,)\mathrm{SL}(n,\mathbb{R}), O(n)\mathrm{O}(n) och SO(n)\mathrm{SO}(n), och sedan kolla det som behöver kollas enligt definitionen av en delgrupp:

Definition. Låt (G,)(G,\star) vara en grupp med identitetselementet 11. En delmängd HGH\subseteq G sägs vara en delgrupp av HH (vilket betecknas HGH\leqslant G) om följande kriterier är uppfylda: 

  • 1H1\in H
  • a,bHa,b\in H medför abHa\star b\in H
  • aHa\in H medför a-1Ha^{-1}\in H.

Vad kommer du fram till?

Ledtråd: Det stämmer inte att SO(n)O(n)SL(n,)GL(n,)\mathrm{SO}(n)\leqslant\mathrm{O}(n)\leqslant\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})\leqslant\mathrm{GL}(n,\mathbb{R}).

Edit: Laguna hann före! Men skriv som övning gärna ner ett tydligt argument baserat på definitionen ovan för var och en av delgrupprelationerna som han anger. 

Qetsiyah 5178 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 24 jan 22:19 Redigerad: 24 jan 22:29
  • Gln=alla icke 0 determinant
  • Sln=alla 1 determinant
  • On=Determinant 1 eller -1, ortogonal.
  • SOn=Determinant 1 och ortogonal.

Isåfall så ändrar jag min förmodan till att dessa fyra inte kan skrivas tillsammans i en serie med >, dock gäller

  • gln>sln>son
  • gln>on>son

Edit: Ojdå, jag lovar att jag inte skrev av Laguna haha. Jag fick bara en mailnotifikation fast jag fick två svar.

oggih 871 – F.d. Moderator
Postad: 25 jan 14:09 Redigerad: 25 jan 14:14

Bra! Hur motiverar du att SL(n,)\mathrm{SL}(n,\mathbb{R}) och O(n)\mathrm{O}(n) är delgrupper och inte enbart delmängder av GL(n,)\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})?

När du väl har visat detta följer det direkt att SO(n)=SL(n,)O(n)\mathrm{SO}(n)=\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})\cap \mathrm{O}(n) är en delgrupp av både SL(n,)\mathrm{SL}(n,\mathbb{R}) och O(n)\mathrm{O}(n) genom följande lemma.

Lemma. Låt (G,)(G,\star) vara en grupp, och låt HGH\subseteq G och KGK\subseteq G vara delgrupper. Då är HKH\cap K en delgrupp av både HH och KK.

Det är en bra övning att formulera ett noggrant bevis.

Visuellt kan de relevanta delmängdsrelationerna sammanfattas med ett sådant här litet så kallat Hasse-diagram:

Qetsiyah 5178 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 25 jan 20:27 Redigerad: 25 jan 21:14

Okej... Vi ska se. 

För att HKH\cap K ska vara delgrupp av HH och KK behöver den vara en delmängd av de, det är såklart redan uppfyllt.

  1. Den ska också vara sluten under gruppoperationen. Jag tänker mig ett motsägelsebevis. Antag att det finns a,bHKa, b\in H \cap K sådan att abHKa\star b \notin H\cup K, men det går inte, för deras produkt måste vara samma i både HH och KK, alltså ingår bab\star a i HKH\cap K.
  2. Det måste också finnas en invers. Det är samma argument som ovan, båda måste ha en invers eftersom hela G är en grupp, så måste inversen vara samma, så den finns i snittet.
  3. Associativitet är trivialt eftersom G är associativ.
  4. Att identeten finns i båda är också trivialt, annars hade HH och KK inte kunnat vara delgrupper in the first place.

Att produkten respetive inversen "måste vara samma" bygger på det faktum att både H och K är delmängd av G, annars hade de kunnat vara olika. Jag vet inte i vilka situationer två grupper kan ha några element gemensamt, men vara i övrigt olika. Vad betyder det ens då att två element är samma i ett sånt konstigt fall?

Edit: nu va din uppgift att visa att HKH\cap K är delgrupp till HH och KK, men det hade väl inte spelat någon roll om du istället sa att att den skulle vara undergrupp till GG?

Svara Avbryt
Close