Gruppteori

Hej. Behöver litet hjälp med en grundläggande uppgift i gruppteori.

Jag skall visa att  $\left({\mathrm{\mathbb{Z}}}_n,{+}_n\right)$ är en grupp. Enligt uppgiften definieras mängden och operationen som

$$\begin{gathered} {\mathrm{\mathbb{Z}}}_n=\left\{0,1,2,...,n-1\right\} \\ i{+}_n j=\left\{\begin{array}{l}i+j om 0\le i+j\le n-1\\ i+j-n om i+j\ge n\end{array}\right. \end{gathered}$$

Jag har konstruerat en Cayleytabell för operationen och från denna ser man att mängden är sluten under operationen. Det återstår alltså att visa att operationen är associativ, att det existerar ett neutralt element, samt att det finns en invers till varje element. 

Det neutrala elementet är 0. Inversen för det k:te elementet är

$k^{-1}=\left\{\begin{array}{l}n-k om k=1,2,....,n-1\\ 0 om k=0\end{array}\right.$

Hur skall jag visa att operationen är associativ?