13 svar
179 visningar
Aorta är nöjd med hjälpen
Aorta Online 194
Postad: 29 maj 15:21

Hållfasthet töjning pga egenvikt

Hej! På denna uppgiften tror jag att jag ska integrera över 0-L men jag förstår inte hur jag ska göra det när det är två olika tjocklekar på stängerna. Ska jag göra det var för sig och sen lägga på den nedre som en tyngd som drar den övre neråt? Jag har kört fast lite och är ny på alla formler.

SaintVenant 3869
Postad: 30 maj 16:34

Lär dig göra det för en stång utan varierande area, så kan du göra det för hur många sektioner som helst.

Svårigheten kommer från att din last varierar utefter stången. Tricket är att dela upp den i skivor, beskriva töjningen för varje skiva och sedan summera alla dessa töjningar.

Du vet att töjningen i en stång med elasticitetmodul EE, med konstant tvärsnitt AA som dras med en kraft FF kan beräknas som:

ε=FEA\varepsilon = \dfrac{F}{EA}

Men, du vet också att du kan beskriva stångens töjning baserat på sin längdförändring:

ε=ΔLL\varepsilon = \dfrac{\Delta L}{L}

Försök nu beskriva totala töjningen på grund av egenvikten för en stång med konstant tvärsnitt.

Aorta Online 194
Postad: 2 jun 13:21

Okej, tack för vägledningen! Jag har inspirerats av ett exempel i min bok där de integrerar över sträckan. Jag verkar vara på rätt väg. Men hur ska jag göra för att få med den andra biten också? Kan jag lösa ut vikten för den nedre biten och räkna med det som en kraft neråt?

SaintVenant 3869
Postad: 3 jun 13:15

Japp. Räkna som om det bara en last. Du kommer ju få två olika separata sektioner. I första sektionen varierar du xx enligt:

0xL0\leq x \leq L

I andra sektionen varierar xx enligt:

Lx2LL\leq x \leq 2L

Det som blir slutklämmen i hela beräkningen är alltid totala förskjutningen relativt x=0x=0, ha det i åtanke. Du kommer kunna räkna ut totala förskjutningen i övre sektionen och sedan använda det när du beräknar totala förlängningen (övre + nedre).

Aorta Online 194
Postad: 3 jun 15:34

I första segmentet får jag en negativ förlängning, vilket ej känns helt bra. Beror detta på att jag borde ha (x-L) istället för (L-x)? Jag har svårt att greppa vad som händer i uppgiften tror jag.

SaintVenant 3869
Postad: 4 jun 15:18 Redigerad: 4 jun 15:50

Visa helst ditt försök till beräkning, annars blir det lätt att man måste gissa kring hur du gjort.

Om man tittar på inlägg #3 har du gjort fel när du integrerat. Du kanske har gjort samma fel igen.

Det som händer i uppgiften är att du tittar på en liten skiva vid ett avstånd xx från ovansidan, med tvärsnittsarea AA och tjocklek dxdx.

Draglasten på denna skiva är ρgA(L-x)\rho g A (L-x) för att nedre delen som drar i skivan är L-xL-x lång. Du kan då beräkna töjningen från spänningen med elasticitetmodulen. 

Sedan har du sambandet mellan töjning i en punkt och förskjutning enligt:

εx=dudx\varepsilon \left(x\right)= \dfrac{du}{dx}

Så då kan du multiplicera upp dxdx och integrera över alla förskjutningar dudu för alla skivor med tjocklek dxdx. Denna summa av förskjutningar måste ju vara lika med totala förskjutningen, vilken alltså blir:

0Ldu=uL-u0=utot\displaystyle \int_0^L du = u\left(L\right)-u\left(0\right)=u_{tot}

Där som bekant vi har att u(x=0)=0u(x=0)=0.

Aorta Online 194
Postad: 7 jun 11:23 Redigerad: 7 jun 11:25
SaintVenant skrev:

Visa helst ditt försök till beräkning, annars blir det lätt att man måste gissa kring hur du gjort.

Om man tittar på inlägg #3 har du gjort fel när du integrerat. Du kanske har gjort samma fel igen.

Det hade jag gjort fel på igen! Tack för hjälpen.

Nu räknade jag ut töjningarna var för sig, en för egentyngden på den nedre stången, en för de övre och en för den övre till följd av att den nedre stången hänger från den första. Jag valde att se den övre stången som en stång med längden L, 0xLoch att den nedre stången var en kraft på den stången som drog den neråt. Det blir ändå inte korrekt. Har jag tänkt fel på töjningen på den övre stången pga den nedre stångens kraft neråt?

PATENTERAMERA 5569
Postad: 7 jun 18:42

Övre stången.

DiffEkvation: dεdx+ρgE=0.

Randvillkor: σL=ρALg2AεL=ρgL2E.

DiffEkvation ger

εx=-ρgEx+C.

Randvillkor ger

-ρgLE+C=ρgL2EC=3ρgL2E.

SaintVenant 3869
Postad: 7 jun 22:19 Redigerad: 7 jun 22:33

Bra försök! Du är på god väg. Tyvärr har du gjort ett slarvfel, en liten tankevurpa och ett fel som jag inte förstår.

[*] Det första, röda felet, är bara att du inte stoppar in rätt δ1\delta_1 vid beräkning av δtot\delta_{tot}. Du skriver delat med 4 i stället för 2.

[†] Det andra, lila felet, är bara att du glömmer att arean för stången du räknar på där är 2A2A.

[‡] Det tredje, svarta felet, är oklart. Det ska inte vara någon tvåa där.

Tänk tillbaka på beräkning av förskjutning för stång pga sin egenvikt, den beror inte på arean utan ska vara

δ=ρgL22E\delta = \dfrac{\rho g L^2}{2E}

Angående massan

Sedan när du fixat till allt, tänk en extra gång på vad massan är, uttryckt i densitet, area och längd. Du gjorde fel på det i slutet nu. 

Tips: Vad är det som har massan mm?

Aorta Online 194
Postad: 10 jun 11:26

Tack för den utförliga förklaringen! 

Angående massan - jag har missat att arean ska vara 2A i detta fallet. Så m=2ALρ. Är jag rätt ute då?

Den totala töjningen får jag då till 3ρgL22E=3·(2AρL)·Lg2·2·EA=3mLg4EAdär jag alltså har förlängt med 2A.

Det rätta svaret ska vara δ=mgL2EAså det är nära men ej helt korrekt

PATENTERAMERA 5569
Postad: 10 jun 11:56

ρ=m3AL

Aorta Online 194
Postad: 10 jun 12:21
PATENTERAMERA skrev:

ρ=m3AL

Är det massan från båda delstängerna? 

PATENTERAMERA 5569
Postad: 10 jun 14:13

Ja, totala massan delat med totala volymen.

Aorta Online 194
Postad: 10 jun 15:15

Aha, eftersom det handlar om den totala töjningen! Tack för all hjälp!

Svara Avbryt
Close