Hållfasthet töjning pga egenvikt

Lär dig göra det för en stång utan varierande area, så kan du göra det för hur många sektioner som helst.

Svårigheten kommer från att din last varierar utefter stången. Tricket är att dela upp den i skivor, beskriva töjningen för varje skiva och sedan summera alla dessa töjningar.

Du vet att töjningen i en stång med elasticitetmodul $E$, med konstant tvärsnitt $A$ som dras med en kraft $F$ kan beräknas som:

$\varepsilon = \dfrac{F}{EA}$

Men, du vet också att du kan beskriva stångens töjning baserat på sin längdförändring:

$\varepsilon = \dfrac{\Delta L}{L}$

Försök nu beskriva totala töjningen på grund av egenvikten för en stång med konstant tvärsnitt.

Okej, tack för vägledningen! Jag har inspirerats av ett exempel i min bok där de integrerar över sträckan. Jag verkar vara på rätt väg. Men hur ska jag göra för att få med den andra biten också? Kan jag lösa ut vikten för den nedre biten och räkna med det som en kraft neråt?

Japp. Räkna som om det bara en last. Du kommer ju få två olika separata sektioner. I första sektionen varierar du $x$ enligt:

$0\leq x \leq L$

I andra sektionen varierar $x$ enligt:

$L\leq x \leq 2L$

Det som blir slutklämmen i hela beräkningen är alltid totala förskjutningen relativt $x=0$, ha det i åtanke. Du kommer kunna räkna ut totala förskjutningen i övre sektionen och sedan använda det när du beräknar totala förlängningen (övre + nedre).

I första segmentet får jag en negativ förlängning, vilket ej känns helt bra. Beror detta på att jag borde ha (x-L) istället för (L-x)? Jag har svårt att greppa vad som händer i uppgiften tror jag.

Visa helst ditt försök till beräkning, annars blir det lätt att man måste gissa kring hur du gjort.

Om man tittar på inlägg #3 har du gjort fel när du integrerat. Du kanske har gjort samma fel igen.

Det som händer i uppgiften är att du tittar på en liten skiva vid ett avstånd $x$ från ovansidan, med tvärsnittsarea $A$ och tjocklek $dx$.

Draglasten på denna skiva är $\rho g A (L-x)$ för att nedre delen som drar i skivan är $L-x$ lång. Du kan då beräkna töjningen från spänningen med elasticitetmodulen. 

Sedan har du sambandet mellan töjning i en punkt och förskjutning enligt:

$\varepsilon \left(x\right)= \dfrac{du}{dx}$

Så då kan du multiplicera upp $dx$ och integrera över alla förskjutningar $du$ för alla skivor med tjocklek $dx$. Denna summa av förskjutningar måste ju vara lika med totala förskjutningen, vilken alltså blir:

$\displaystyle \int_0^L du = u\left(L\right)-u\left(0\right)=u_{tot}$

Där som bekant vi har att $u(x=0)=0$.

SaintVenant skrev:

Visa helst ditt försök till beräkning, annars blir det lätt att man måste gissa kring hur du gjort.

Om man tittar på inlägg #3 har du gjort fel när du integrerat. Du kanske har gjort samma fel igen.

Det hade jag gjort fel på igen! Tack för hjälpen.

Nu räknade jag ut töjningarna var för sig, en för egentyngden på den nedre stången, en för de övre och en för den övre till följd av att den nedre stången hänger från den första. Jag valde att se den övre stången som en stång med längden L, $0\le x\le L$och att den nedre stången var en kraft på den stången som drog den neråt. Det blir ändå inte korrekt. Har jag tänkt fel på töjningen på den övre stången pga den nedre stångens kraft neråt?

Övre stången.

DiffEkvation: $\frac{d\epsilon }{dx}+\frac{\rho g}{E}=0$.

Randvillkor: $\sigma \left(L\right)=\frac{\rho ALg}{2A}\Rightarrow \epsilon \left(L\right)=\frac{\rho gL}{2E}$.

DiffEkvation ger

$\epsilon \left(x\right)=-\frac{\rho g}{E}x+C$.

Randvillkor ger

$-\frac{\rho gL}{E}+C=\frac{\rho gL}{2E}\Rightarrow C=\frac{3\rho gL}{2E}$.

Bra försök! Du är på god väg. Tyvärr har du gjort ett slarvfel, en liten tankevurpa och ett fel som jag inte förstår.

[*] Det första, röda felet, är bara att du inte stoppar in rätt $\delta_1$ vid beräkning av $\delta_{tot}$. Du skriver delat med 4 i stället för 2.

[†] Det andra, lila felet, är bara att du glömmer att arean för stången du räknar på där är $2A$.

[‡] Det tredje, svarta felet, är oklart. Det ska inte vara någon tvåa där.

Tänk tillbaka på beräkning av förskjutning för stång pga sin egenvikt, den beror inte på arean utan ska vara

$\delta = \dfrac{\rho g L^2}{2E}$

Angående massan

Sedan när du fixat till allt, tänk en extra gång på vad massan är, uttryckt i densitet, area och längd. Du gjorde fel på det i slutet nu. 

Tips: Vad är det som har massan $m$?

Tack för den utförliga förklaringen! 

Angående massan - jag har missat att arean ska vara 2A i detta fallet. Så $m=2AL\rho$. Är jag rätt ute då?

Den totala töjningen får jag då till $\frac{3\rho g{L}^2}{2E}=\frac{3·\left(2A\rho L\right)·Lg}{2·2·EA}=\frac{3mLg}{4EA}$där jag alltså har förlängt med 2A.

Det rätta svaret ska vara $\delta =\frac{mgL}{2EA}$så det är nära men ej helt korrekt

$\rho =\frac{m}{3AL}$

PATENTERAMERA skrev:

$\rho =\frac{m}{3AL}$

Är det massan från båda delstängerna? 

Ja, totala massan delat med totala volymen.

Aha, eftersom det handlar om den totala töjningen! Tack för all hjälp!