Har Cx=0 en icke trivial lösning?

Om du har löst (b) så vet du om om matrisen är inverterbar eller inte.

För att den skall vara inverterbar så krävs det att matrisen avbildar samtliga vektorer på unika vektorer, att det är bijektivt.

Om Cx = 0 har en lösning annan än att x=0 så betyder det att det finns minst två vektorer som avbildas på nollvektorn, vilket innebär att alla vektorer inte avbildas unikt, och vi kan alltså inte bilda en invers av matrisen eftersom vissa vektorer har mer än en möjlig vektor som inversmatrisen skulle avbilda dem på.

Bedinsis skrev:

Om du har löst (b) så vet du om om matrisen är inverterbar eller inte.

För att den skall vara inverterbar så krävs det att matrisen avbildar samtliga vektorer på unika vektorer, att det är bijektivt.

Om Cx = 0 har en lösning annan än att x=0 så betyder det att det finns minst två vektorer som avbildas på nollvektorn, vilket innebär att alla vektorer inte avbildas unikt, och vi kan alltså inte bilda en invers av matrisen eftersom vissa vektorer har mer än en möjlig vektor som inversmatrisen skulle avbilda dem på.

Hm nu förstår jag ej din förklaring här. Vill du tydliggöra den mer? Ja i b) så är den inverterbar då den är 4×4 så determinant är nollskild som jag fick ut i a)

En annan förklaring kan vara att: Eftersom det(C) är skild från noll så har ekvationssystemet en trivial lösning.

Om nu C^-1 existerar och vi applicerar den på 0-vektorn, vad skall vi då få?

Vi skall få den vektor som avbildas på 0-vektorn då vi applicerar C-matrisen.

Om det finns mer än en vektor som avbildas på 0-vektorn då C-matrisen appliceras så uppstår det problem;  vilken av dessa vektorerna bör 0-vektorn avbildas på då man applicerar inversen?

Matrisen C^-1 kan inte existera om det finns flera vektorer som avbildas på 0-vektorn.

Bedinsis skrev:

Om nu C^-1 existerar och vi applicerar den på 0-vektorn, vad skall vi då få?

Vi skall få den vektor som avbildas på 0-vektorn då vi applicerar C-matrisen.

Om det finns mer än en vektor som avbildas på 0-vektorn då C-matrisen appliceras så uppstår det problem;  vilken av dessa vektorerna bör 0-vektorn avbildas på då man applicerar inversen?

Matrisen C^-1 kan inte existera om det finns flera vektorer som avbildas på 0-vektorn.

Okej så det är därför det måste finnas en trivial lösning endast? Frågan säger ju om det finns en icke trivial och det gär det ej.

Det finns en icke-trivial lösning om och endast om matrisens kolonner är linjärt beroende.

Determinanten är noll om och endast om matrisens kolonner är linjärt beroende.

PATENTERAMERA skrev:

Det finns en icke-trivial lösning om och endast om matrisens kolonner är linjärt beroende.

Determinanten är noll om och endast om matrisens kolonner är linjärt beroende.

Hur kan man veta utan att gausa att matrisens kolonner är linjärt beroende? Nu är determinanten ej noll vilket innebär att matrisen är linjärt oberoende eller hur?

Ja, eftersom du räknat ut determinanten så vet du utan att behöva Gaussa, precis som uppgiften ber om.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, eftersom du räknat ut determinanten så vet du utan att behöva Gaussa, precis som uppgiften ber om.

Okej Då förstår jag.  Tack snälla!