Har jag uppfattat gränsvärdet korrekt?

852sol skrev:

Jag har förstått gränsvärde som ett sätt att beräkna vad ett utryck blir för ett variabelvärde som inte är definierat för uttrycket! Exempelvis om vi har 1/x kan vi inte beräkna värdet för x=0 vi kan dock beräkna gränsvärdet genom att låta lim för x—> detta kan antingen göras genom att numererisk pröva vad det blir när x är när noll exempelvis x=10^-6 man kan dock även skriva om uttrycket för att gälla x=0 alltså skriva om det till X^-1 och därefter sätta in x=0!

Det är rätt, men inte helt rätt. Faktiskt är detta också ett gränsvärde: lim x går mot 2(y=x+5)=7. 

Men man kan även beräkna gränsvärdet av ändringskvoter och detta gör man vid beräkning av derivata! Och då skriver man om ändringskvoten så att h=0 ingår i definitionen! Har jag förstått gränsvärde korrekt?

tack på förhand

h som du kan se i definitionen av en derivata är ändringen, vi låter ändringen bli pytteliten. Däremot är h inget tal som vi stoppar in i funktionen. Definitionen involverar en kvot, och därför blir det problem om vi vill att h=0.

Jag gillar dina frågor!

Tack så mycket! Jag är dock inte riktigt med på varför 2(y=x+5=7) är ett gränsvärde? Är helt enkelt alla beräkningar en typ av gränsvärde?

angående h: stoppar man dock inte in h=0 efter att funktionen har skrivits om (alltså efter att h har förkortats bort ur nämnaren) så att det inte längre är en kvot? 

Tack på förhand! Vad roligt att du gillar mina frågor! Jag tycker väldigt mycket om dina svar (de är väldigt bra förklaringar) :)

852sol skrev:

Tack så mycket! Jag är dock inte riktigt med på varför 2(y=x+5=7) är ett gränsvärde? Är helt enkelt alla beräkningar en typ av gränsvärde?

Just ja. Det kanske låter kostigt men så är det. Det är inget "olagligt" som händer när vi försöker räkna ut 2+5, därför behöver vi inte tänka oss en gräns (som är sju), men gränsen finss och är sju!

angående h: stoppar man dock inte in h=0 efter att funktionen har skrivits om (alltså efter att h har förkortats bort ur nämnaren) så att det inte längre är en kvot? 

När vi har tagit bort h från nämnaren och sätter i h=0 så får vi derivatans funktion. Men derivatans funktion är fortfarande en funktion av variabeln x, f'(x) inte f'(h). h finns ju inte längre när vi sätter h=0. 

Eller undrar du på något annat sätt?

Tack på förhand! Vad roligt att du gillar mina frågor! Jag tycker väldigt mycket om dina svar (de är väldigt bra förklaringar) :)

Åh jag blir alldeles rörd, tack

852sol skrev:

Jag har förstått gränsvärde som ett sätt att beräkna vad ett utryck blir för ett variabelvärde som inte är definierat för uttrycket! Exempelvis om vi har 1/x kan vi inte beräkna värdet för x=0 vi kan dock beräkna gränsvärdet genom att låta lim för x—> detta kan antingen göras genom att numererisk pröva vad det blir när x är när noll exempelvis x=10^-6 man kan dock även skriva om uttrycket för att gälla x=0 alltså skriva om det till X^-1 och därefter sätta in x=0! Men man kan även beräkna gränsvärdet av ändringskvoter och detta gör man vid beräkning av derivata! Och då skriver man om ändringskvoten så att h=0 ingår i definitionen! Har jag förstått gränsvärde korrekt?

tack på förhand

Här har något blivit knas. Visst kan du definiera om en funktion $f$ för att den ska vara definierad för ett tal som den annars inte är definierad för. Det stämmer att du kan skriva om $\frac{1}{x}=x^{-1}$ men det stämmer inte att den funktionen är definierad i 0 (och därmed kan du inte sätta in 0 i $x^{-1}$). Då får du definiera en funktion $\tilde{f}=\left\{\begin{array}{l}f, x\in D_f\\ 0, x=0\end{array}\right.$. Vår nya funktion är definierad överallt på $f$ definitionsmängd samt i punkten 0, men det gäller inte att $f\left(0\right)=0$, och det är viktigt att skilja på.

Tack för all hjälp, men det är en grej jag fortfarande inte riktigt är med på: vad är egentligen ett gränsvärde! Jag tänkte mig nämligen det förut som ett värde ett uttryck närmade sig, när man ersatte en variabel i uttrycket med ett tal det inte var definierad för? 

Tack på förhand

Moffen skrev:

852sol skrev:

Jag har förstått gränsvärde som ett sätt att beräkna vad ett utryck blir för ett variabelvärde som inte är definierat för uttrycket! Exempelvis om vi har 1/x kan vi inte beräkna värdet för x=0 vi kan dock beräkna gränsvärdet genom att låta lim för x—> detta kan antingen göras genom att numererisk pröva vad det blir när x är när noll exempelvis x=10^-6 man kan dock även skriva om uttrycket för att gälla x=0 alltså skriva om det till X^-1 och därefter sätta in x=0! Men man kan även beräkna gränsvärdet av ändringskvoter och detta gör man vid beräkning av derivata! Och då skriver man om ändringskvoten så att h=0 ingår i definitionen! Har jag förstått gränsvärde korrekt?

tack på förhand

Här har något blivit knas. Visst kan du definiera om en funktion $f$ för att den ska vara definierad för ett tal som den annars inte är definierad för. Det stämmer att du kan skriva om $\frac{1}{x}=x^{-1}$ men det stämmer inte att den funktionen är definierad i 0 (och därmed kan du inte sätta in 0 i $x^{-1}$). Då får du definiera en funktion $\tilde{f}=\left\{\begin{array}{l}f, x\in D_f\\ 0, x=0\end{array}\right.$. Vår nya funktion är definierad överallt på $f$ definitionsmängd samt i punkten 0, men det gäller inte att $f\left(0\right)=0$, och det är viktigt att skilja på.

Så gränsvärdet är alltså värdet ett uttryck närmar sig för ett variabel värde uttrycket egentligen inte är definierad för! Vi kan då antingen numerisk prova vad värdet närmar sig  (som i 1/x) eller förenkla funktionen (som i derivatans definition) så att det nya uttrycket är definierat för det värde vi ersätter variabeln med?

tack på förhand

Så gränsvärdet är alltså värdet ett uttryck närmar sig för ett variabel värde uttrycket egentligen inte är definierad för! Vi kan då antingen numerisk prova vad värdet närmar sig (som i 1/x) eller förenkla funktionen (som i derivatans definition) så att det nya uttrycket är definierat för det värde vi ersätter variabeln med?

Du har redan ställt den här frågan i en annan tråd. Det står i Pluggakutens regler att du inte får ha mer än en tråd om varje fråga, och dessutom att du inte skall ställa mer än en fråga i varje tråd. Du bryter alltså mot två regler i det här inlägget. Du har redan tidigare blivit varnad för risken att bli avstängd om du inte följer Pluggakutens regler. /moderator

Man kan mycket väl ta gränsvärdet för f(x) när x närmar sig ett värde som f är definerad för.