Härled resultatet mha Derivata

Jag tänkte så här

Behöver du hjälp med a, b eller båda?

Jag tror inser att jag borde ha användt produkt regeln

Arup skrev:

Jag tror inser att jag borde ha användt produkt regeln

Ja, vad får du om du använder den?

kan jag skriva så här ?

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x\left(\cos \right(x)-\sin (x\left)\right) \\ {f}^{\text{'}}\left(x\right)=1(-\sin (x)-\cos (x\left)\right) \end{gathered}$$

Jag tycker det blir jobbigt att tänka när jag har två funktioner som inte multipliceras

Arup skrev:

kan jag skriva så här ?

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x\left(\cos \right(x)-\sin (x\left)\right) \\ {f}^{\text{'}}\left(x\right)=1(-\sin (x)-\cos (x\left)\right) \end{gathered}$$

Jag tycker det blir jobbigt att tänka när jag har två funktioner som inte multipliceras

Nej så kan du inte skriva. $x(\cos(x)-\sin(x))$ är inte samma sak som $x\cos(x)-\sin(x)$

För att derivera $x\cos(x)-\sin(x)$ kan du derivera en term I taget.

Derivatan av första termen $x\cos(x)$ är enligt produktregeln $1\cdot\cos(x)-x\cdot\sin(x)$

Derivatan av andra termen $\sin(x)$ är $\cos(x)$

ok jag trodde x skulle distruberas 

Arup skrev:

ok jag trodde x skulle distruberas 

Jag förstår inte riktigt vad du menar med att x skulle distribueras.

Är du med på att $f(x)=x\cdot\cos(x)-\sin(x)$?

Att x skulle multipliceras med term för term

Ja, det skulle vara så om det hade stått $f(x)=x\cdot(\cos(x)-\sin(x))$.

Men nu stod det inte så, dvs det fanns inga parenteser där.

Det här är precis samma sak som att 2*3+4 inte är lika med 2*3+2*4.

Ser det bättre ut ?

Nej, din derivering stämmer inte.

Ursprungsuttrycket $f(x)=x\cdot\cos(x)-\sin(x)$ består av två termer, där den första termen $x\cdot\cos(x)$ är en produkt av de två uttrycken $x$ och $\cos(x)$ och den andra termen är $\sin(x)$.

För att derivera uttrycker föreslår jag att du inför beteckningarna

• $p(x)=x$
• $q(x)=\cos(x)$
• $r(x)=\sin(x)$

Ursprungsuttrycket blir då

$f(x)=p(x)\cdot q(x)-r(x)$

För att derivera $f(x)$ ska du nu använda produktregeln på första termen:

$f'(x)=(p(x)\cdot q(x))'-r'(x)=$

$=p'(x)\cdot q(x)+p(x)\cdot q"(x)-r'(x)$

• Eftersom $p(x)=x$ så är $p'(x)=1$
• Eftersom $q(x)=\cos(x)$ så är $q'(x)=-\sin(x)$
• Eftersom $r(x)=\sin(x)$ så är $r'(x)=\cos(x)$

Om du nu sätter in detta i uttrycket för $f'(x)$ så får du

$f'(x)=1\cdot\cos(x)+x\cdot(-\sin(x))-\cos(x)=$

$=\cos(x)-x\cdot\sin(x)-\cos(x)=$

$=-x\cdot\sin(x)$

Bra att du meddelar ska kika lite mer på detta område