Härled resultatet mha Derivata

Jag tänkte så här

Behöver du hjälp med a, b eller båda?

Jag tror inser att jag borde ha användt produkt regeln

Arup skrev:

Jag tror inser att jag borde ha användt produkt regeln

Ja, vad får du om du använder den?

kan jag skriva så här ?

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x\left(\cos \right(x)-\sin (x\left)\right) \\ {f}^{\text{'}}\left(x\right)=1(-\sin (x)-\cos (x\left)\right) \end{gathered}$$

Jag tycker det blir jobbigt att tänka när jag har två funktioner som inte multipliceras

Arup skrev:

kan jag skriva så här ?

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x\left(\cos \right(x)-\sin (x\left)\right) \\ {f}^{\text{'}}\left(x\right)=1(-\sin (x)-\cos (x\left)\right) \end{gathered}$$

Jag tycker det blir jobbigt att tänka när jag har två funktioner som inte multipliceras

Nej så kan du inte skriva. $x(\cos(x)-\sin(x))$ är inte samma sak som $x\cos(x)-\sin(x)$

För att derivera $x\cos(x)-\sin(x)$ kan du derivera en term I taget.

Derivatan av första termen $x\cos(x)$ är enligt produktregeln $1\cdot\cos(x)-x\cdot\sin(x)$

Derivatan av andra termen $\sin(x)$ är $\cos(x)$

ok jag trodde x skulle distruberas 

Arup skrev:

ok jag trodde x skulle distruberas 

Jag förstår inte riktigt vad du menar med att x skulle distribueras.

Är du med på att $f(x)=x\cdot\cos(x)-\sin(x)$?

Att x skulle multipliceras med term för term

Ja, det skulle vara så om det hade stått $f(x)=x\cdot(\cos(x)-\sin(x))$.

Men nu stod det inte så, dvs det fanns inga parenteser där.

Det här är precis samma sak som att 2*3+4 inte är lika med 2*3+2*4.

Ser det bättre ut ?

Nej, din derivering stämmer inte.

Ursprungsuttrycket $f(x)=x\cdot\cos(x)-\sin(x)$ består av två termer, där den första termen $x\cdot\cos(x)$ är en produkt av de två uttrycken $x$ och $\cos(x)$ och den andra termen är $\sin(x)$.

För att derivera uttrycker föreslår jag att du inför beteckningarna

• $p(x)=x$
• $q(x)=\cos(x)$
• $r(x)=\sin(x)$

Ursprungsuttrycket blir då

$f(x)=p(x)\cdot q(x)-r(x)$

För att derivera $f(x)$ ska du nu använda produktregeln på första termen:

$f'(x)=(p(x)\cdot q(x))'-r'(x)=$

$=p'(x)\cdot q(x)+p(x)\cdot q"(x)-r'(x)$

• Eftersom $p(x)=x$ så är $p'(x)=1$
• Eftersom $q(x)=\cos(x)$ så är $q'(x)=-\sin(x)$
• Eftersom $r(x)=\sin(x)$ så är $r'(x)=\cos(x)$

Om du nu sätter in detta i uttrycket för $f'(x)$ så får du

$f'(x)=1\cdot\cos(x)+x\cdot(-\sin(x))-\cos(x)=$

$=\cos(x)-x\cdot\sin(x)-\cos(x)=$

$=-x\cdot\sin(x)$

Bra att du meddelar ska kika lite mer på detta område

Jag tror här har du gjort slarv fel

Ja, det stämmer, det ska stå q'(x)

Testade din metod

Bra!

Vill du pröva att det sitter?

I så fall kan jag hitta på ett uttryck som du kan derivera.

Ja tack!

Arup skrev:

Ja tack!

Vi kan börja med dessa.

1. $f(x)=x\cdot e^x$
2. $f(x)=\sin(x)\cdot x^2$
3. $f(x)=3x^3\cdot\cos(x)+x^2\cdot e^x$
4. $f(x)=\cos(x)\cdot(\frac{1}{x}+\ln(x))$

Här är den första

Bra, det stämmer.

Här kommer den andra

Här kommer den tredje

Så här har jag tänkt på fyran. Har troligtvis fått lite slarvfel på vägen

Arup skrev:

Här kommer den tredje

Här blev det ett litet fel på en av exponenterna (rödmarkerat):

Arup skrev:

Så här har jag tänkt på fyran. Har troligtvis fått lite slarvfel på vägen

Ja, här blev det fel ftån början.

Om du sätter

• $g(x)=\cos(x)$
• $h(x)=\frac{1}{x}$
• $r(x)=\ln(x)$

Så blir ju $\frac{g(x)}{h(x)}+\frac{g(x)}{r(x)}=$

$=\frac{\cos(x)}{\frac{1}{x}}+\frac{\cos(x)}{\ln(x)}=$

$=x\cdot\cos(x)+\frac{\cos(x)}{\ln(x)}$, vilket inte alls är lika med $f(x)$

Istället så har du att $f(x)=g(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot r(x)$