5 svar
88 visningar
lamayo är nöjd med hjälpen!
lamayo 1958
Postad: 12 mar 2019

Härleda transponatlagar

Har inte hittat några härledningar för följande transponatlagar:

  • (A+B)t=At+Bt
  • (AB)t=BtAt

Finns det något sätt att härleda dessa på?

Tacksam för hjälp!

Albiki 3460
Postad: 12 mar 2019 Redigerad: 12 mar 2019

Studera vad som händer med matrisernas komponenter. 

Enligt definition av matristransponat gäller det att

    ((A+B)t)ij=(A+B)ji=Aji+Bji=(At)ij+(Bt)ij=(At+Bt)ij.((A+B)^{t})_{ij} = (A+B)_{ji} = A_{ji}+B_{ji} = (A^{t})_{ij}+(B^{t})_{ij} = (A^t+B^t)_{ij}.

Enligt definition av matrismultiplikation och matristransponat gäller det att 

    ((AB)t)ij=(AB)ji=AjkBki=(Bt)ik(At)kj=(BtAt)ij((AB)^{t})_{ij} = (AB)_{ji} = A_{jk}B_{ki} = (B^{t})_{ik}(A^{t})_{kj} = (B^{t}A^{t})_{ij}

där summering sker över det upprepade index kk.

lamayo 1958
Postad: 13 mar 2019 Redigerad: 13 mar 2019
Albiki skrev:

Studera vad som händer med matrisernas komponenter. 

Enligt definition av matristransponat gäller det att

    ((A+B)t)ij=(A+B)ji=Aji+Bji=(At)ij+(Bt)ij=(At+Bt)ij.((A+B)^{t})_{ij} = (A+B)_{ji} = A_{ji}+B_{ji} = (A^{t})_{ij}+(B^{t})_{ij} = (A^t+B^t)_{ij}.

Enligt definition av matrismultiplikation och matristransponat gäller det att 

    ((AB)t)ij=(AB)ji=AjkBki=(Bt)ik(At)kj=(BtAt)ij((AB)^{t})_{ij} = (AB)_{ji} = A_{jk}B_{ki} = (B^{t})_{ik}(A^{t})_{kj} = (B^{t}A^{t})_{ij}

där summering sker över det upprepade index kk.

Aha, tack så mycket!

lamayo 1958
Postad: 13 mar 2019

Hänger inte riktigt med på den sista nu när jag tänker efter.

Varför Blir det AjkBki=(Bt)ik(At)kj?

Hur kommer det sig att k införs som index och varför byter B och A plats?

Albiki 3460
Postad: 13 mar 2019

Multiplikation av en a×na\times n-matris AA och en n×bn\times b-matris BB defineras som den matris ABAB vars element på rad nummer ii och kolonn nummer jj är 

    (AB)ij=k=1naikbkj;(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj};

jag skrev i mitt tidigare inlägg att summering skedde över det upprepade index kk.

lamayo 1958
Postad: 13 mar 2019
Albiki skrev:

Multiplikation av en a×na\times n-matris AA och en n×bn\times b-matris BB defineras som den matris ABAB vars element på rad nummer ii och kolonn nummer jj är 

    (AB)ij=k=1naikbkj;(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj};

jag skrev i mitt tidigare inlägg att summering skedde över det upprepade index kk.

okej tack!

Svara Avbryt
Close