Härledning additions och subtraktionsformler

Iden är att skriva om $\sin(u\pm v)$ och $\cos(u+v)$ på ett sätt så att additionsformeln för $\cos(u-v)$ kan användas. Ofta kan det bli lättare om man utnyttjar lite variabelsubstitution som gör omskrivningen tydligare. För $\cos(u+v)$ kan vi introducera variabeln, säg $w$ så att $w=-v$. Därmed är $\cos(u+v) = \cos(u-w)$ och nu kan vi använda additionsformeln vi redan kan. 

$\cos(u+v) = \cos(u-w) = \cos u \cos {\color{magenta}w} + \sin u \sin {\color{magenta}w}.$

Slutligen byter vi tillbaka till den gamla variabeln. Då får vi 

$\cos(u+v) = \cos u \cos({\color{magenta}-v}) + \sin u \sin({\color{magenta}-v}) = \cos u \cos v - \sin u \sin v$

(här använde vi att $\sin (-v) = -\sin v$ och $\cos(-v) = \cos v$, vilket är en av sambanden i bilden!). 

De andra är knepigare. Man kan börja med att notera att $u-v = 90^\circ - 90^\circ + u -v = 90^\circ - {\color{magenta}(90^\circ - u +v)}$. Vi förenklar uttrycket lite grann genom att skriva $\alpha=90^\circ-u+v$. Algebran ovan visar alltså att $u-v = 90^\circ - {\color{magenta}\alpha}$

Anledningen till att göra denna algebraiska manipulation är att kunna använda sambandet $\cos x = \sin(90^\circ - x)$. 

Vi får alltså att $\sin(u-v) = \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha = \cos(90^\circ - u+ v)$. Slutligen, för att förenkla uttrycket lite grann kan vi införa variabeln $\beta = 90^\circ - u$. Alltså har vi fått fram att $\sin(u-v) = \cos (\beta + v)$. 

Härifrån kan du använda additionsformeln för cosinus som vi härledde ovan, sedan utveckla vad $\beta$ är och slutligen använda några av sambanden i bilden du länkade för att slutligen nå fram till

$\sin(u-v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v$

Okej, det var mycket svårare än vad jag trodde ^^' kunde dom inte bara ha avvarat en sida till att visa detta. Fattar inte.