Härledning av relation mellan rörelsemängd och energi

I min fysikbok visar man hur man kommer fram till formeln E_tot= $\sqrt{m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2}}$ .

Där står:
"Om rörelsemängden är p=γmv, så är p²c²=γ²m²v²c².
Totala energin i kvadrat är E_tot²=γ²m²c⁴
Vi får nu att (observera att parentesen nedan är lika med 1/γ^2)
${E_{t o t}}^{2} - p^{2} c^{2} = γ^{2} m^{2} c^{4} - γ^{2} m^{2} v^{2} c^{2} = γ^{2} m^{2} c^{4} (1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}) = \frac{γ^{2} m^{2} c^{4}}{γ^{2}} = m^{2} c^{4}$ "

Det jag inte förstår är hur $γ^{2} m^{2} c^{4} - γ^{2} m^{2} v^{2} c^{2} = γ^{2} m^{2} c^{4} (1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})$
Jag förstår att man kan bryta ut γ²m²c², men de har ju brutit ut c⁴. Jag ser även att $(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})$ är en del av gammafaktorn, men jag förstår inte hur det hänger ihop.

Man multiplicerar andra termen med 1 = c²/c².

$\gamma^2m^2c^4-\gamma^2m^2v^2c^2 = \gamma^2m^2c^4-\gamma^2m^2v^2c^2 \cdot\frac{c^2}{c^2}$ . Kommer du vidare?

Tack! Jag blir även lite förvirrad av nästa steg. Jag förstår att $γ^{2} m^{2} c^{4} (\frac{1}{γ^{2}}) = m^{2} c^{4}$ , men hur är $\frac{1}{γ^{2}} = 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}$ ?

$\gamma^2m^2c^4-\gamma^2m^2v^2c^2$ =

$\gamma^2m^2c^4-\gamma^2m^2v^2c^2 \cdot\frac{c^2}{c^2}$ =

$\gamma^2m^2c^4\cdot1-\gamma^2m^2c^4 \cdot\frac{v^2}{c^2}$ =

$\gamma^2m^2c^4(1-\frac{v^2}{c^2})$

Ja, det förstod jag. Jag kanske svarade lite otydligt. Jag förstår nu hur man kom fram till $γ^{2} m^{2} c^{4} (1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})$ . Det jag undrar nu är varför parentesen $(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})$ är lika med 1/γ². Resten av härledningen förstår jag.

Hur definieras gammafaktorn $\gamma$ ?

$γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

så:
$\frac{1}{γ^{2}} = \frac{1}{{(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}})}^{2}} = \frac{1}{(\frac{1}{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}})} = 1 \times \frac{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}{1} = 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}$

Just det! Tusen tack!

Svara

Visa senaste svar