Härledning från de Moivres formel i Leonhard Eulers verk

Hej, nu skriver jag på natten eftersom jag hoppas på snabbare svar efter att ha haft sovmorgon.

Jag arbetar med mitt gymnasiearbete där jag fokuserar på Eulers identitet. Jag använder Leonhard Eulers verk som en av de primära källorna. I den moderna engelska översättningen verkar det som att Euler inte har skrivit steg för steg i sitt verk. Jag behöver hjälp med att hitta stegen för de formler han härledde från de Moivres formel.

Här har jag bifogat en skärmdump från PDF-filen:

Ni kan också hitta det i PDF-filen via denna länk: https://www.17centurymaths.com/contents/euler/introductiontoanalysisvolone/ch8avol1.pdf och bilden togs från sidan 208 (eller sidan 7 i PDF-filen).

Som ni kan se skrev Euler om de Moivres formel i början, där absolutbeloppet är 1. Han använde några föråldrade notationer, vilket skiljer sig från de vi använder idag.

Jag har en fråga: Hur har Euler härlett formeln till de som visas nedan? Det står att det grundar sig på att tecknen är tvetydiga. Jag förstår att det innehåller både plus- och minustecken, men hur bestämde han vilken som skulle vara plus och vilken som skulle vara minus? Hur har han separerat cos.nz och sin.nz på det sättet?

Att skriva $(a\pm b)^n = x \pm y$ betyder att

$(a+b)^n=x+y$ och att $(a-b)^n=x-y$ .

Generellt när du har $\pm$ på båda sidor av ett likhetstecken är det en förkortning för två ekvationer, den ena med plus på båda sidor och den andra med minus på båda.

Då är t.ex. $x = \frac{(a+b)^n + (a-b)^n}{2}$ eftersom vi har $(x+y)+(x-y) =2x$ i täljaren.

Testa själv med $a=\cos z$ , $b=i\sin z$ , $x=\cos nz$ och $y=i\sin nz$ .

${(\cos z \pm i \sin z)}^{n} = \cos n z \pm i \sin n z {(\cos z + i \sin z)}^{n} + {(\cos z - i \sin z)}^{n} = (\cos n z + i \sin n z) + (\cos n z - i \sin n z) {(\cos z + i \sin z)}^{n} + {(\cos z - i \sin z)}^{n} = 2 \cos n z \frac{{(\cos z + i \sin z)}^{n} + {(\cos z - i \sin z)}^{n}}{2} = \cos n z {(\cos z \pm i \sin z)}^{n} = \cos n z \pm i \sin n z {(\cos z + i \sin z)}^{n} - {(\cos z - i \sin z)}^{n} = (\cos n z + i \sin n z) - (\cos n z - i \sin n z) {(\cos z + i \sin z)}^{n} - {(\cos z - i \sin z)}^{n} = 2 i \sin n z \frac{{(\cos z + i \sin z)}^{n} - {(\cos z - i \sin z)}^{n}}{2 i} = \sin n z$

Jag lyckades härleda detta och har skrivit ner det som en anteckning åt mig själv.

Tack för hjälp, Gustor.

Svara