Härledning med derivata för rörelse i en dimension.

filipsrbin skrev:

Det jag inte riktigt förstår är, om man deriverar med hänseende på t, stryker man bort ett t då i alla termer?

T:et försvinner i första termer, och i andra termen, om man följer deriveringsreglerna, så borde det bli $t^2 = 2t$.

Så det är första frågan.

Svar: Ja. t-derivatan av tⁿ är n•t^n-1. Därför är t-derivatan av v₀t lika med v₀•1•t^1-1 = v₀t⁰ = v₀ och t-derivatan av at²/2 lika med (a/2)•2•t^2-1 = at.

Sen om man deriverar ytterligare så får man accelerationen:

$a_{x_t}=a_x$

Vad exakt händer med v:et här? Räknas det som en konstant och därför deriveras den bort? 

Ja, v₀ är ju ursprungshastigheten, dvs hastigheten vid t = 0. Denna är konstant.

Yngve skrev:

filipsrbin skrev:

Hej!

Skulle vilja få lite klarhet i deriveringen av rörelse i en dimension. 

$x_t=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

Detta är formeln för sträckan i en likformigt föränderlig rörelse.

Om man deriverar denna med hänseende på t så ska det bli :

$v_{x_t}=v_0+at$

Det jag inte riktigt förstår är, om man deriverar med hänseende på t, stryker man bort ett t då i alla termer?

T:et försvinner i första termer, och i andra termen, om man följer deriveringsreglerna, så borde det bli $t^2 = 2t$.

Så det är första frågan.

Svar: Ja. t-derivatan av tⁿ är n•t^n-1.

Sen om man deriverar ytterligare så får man accelerationen:

$a_{x_t}=a_x$

Vad exakt händer med v:et här? Räknas det som en konstant och därför deriveras den bort? 

Ja, v₀ är ju ursprungshastigheten, dvs hastigheten vid t = 0. Denna är konstant.

Med "Svar ja", menar du att ett t stryks i alla termer när man deriverar med hänseende på det? 

filipsrbin skrev:

Med "Svar ja", menar du att ett t stryks i alla termer när man deriverar med hänseende på det? 

Det är farligt att tänka att "stryka t". Du ska använda deriveringsregeln att t-derivatan av k•tⁿ är k•n•t^n-1 

Yngve skrev:

filipsrbin skrev:

Med "Svar ja", menar du att ett t stryks i alla termer när man deriverar med hänseende på det? 

Det är farligt att tänka att "stryka t". Du ska använda deriveringsregeln att t-derivatan av k•tⁿ är k•n•t^n-1 

Ja jo, ogillar själv att säga "stryka ... " men förstår inte riktigt varför ett t försvinner. 

För om jag deriverar den termen, dvs $\frac{1}{2}a{t}^2$

så bör jag få : $\frac{1}{2}*1 * a^0 *\hspace{0.17em}2*t^1$

Detta blir då alltså $\frac{1}{2}*1*1*2*t\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}t$. 

Även detta blir konstigt för då försvinner ju mitt a, i och med att allt upphöjt med 0 = 1. 

Du misstolkar räkneregler.

Tänk tillbaka till vad derivatan är: $\frac{{\rm d}f(x)}{{\rm d} x} = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.

Det är alltså grafens lutning. Tänk mer grafiskt!

Konstanta faktorer ändrar funktionen och dess lutning på samma sätt: $\frac{{\rm d}}{{\rm d} x}(\frac{1}{2}a x^2) = \frac{1}{2}a \frac{{\rm d}x^2}{{\rm d} x}  = a x.$

filipsrbin skrev:

För om jag deriverar den termen, dvs $\frac{1}{2}a{t}^2$

så bör jag få : $\frac{1}{2}*1 * a^0 *\hspace{0.17em}2*t^1$

Detta blir då alltså $\frac{1}{2}*1*1*2*t\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}t$. 

 

Även detta blir konstigt för då försvinner ju mitt a, i och med att allt upphöjt med 0 = 1. 

Varför deriverar du den konstanta faktorn a?

Är du med på att x-derivatan av a•x² är a•2x, om a är en konstant?

Yngve skrev:

filipsrbin skrev:

Ja jo, ogillar själv att säga "stryka ... " men förstår inte riktigt varför ett t försvinner. 

För om jag deriverar den termen, dvs $\frac{1}{2}a{t}^2$

så bör jag få : $\frac{1}{2}*1 * a^0 *\hspace{0.17em}2*t^1$

Detta blir då alltså $\frac{1}{2}*1*1*2*t\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}t$. 

 

Även detta blir konstigt för då försvinner ju mitt a, i och med att allt upphöjt med 0 = 1. 

Varför deriverar du den konstanta faktorn a?

Är du med på att x-derivatan av a•x² är a•2x, om a är en konstant?

Det är här jag blir förvirrad. Om a är en konstant, varför deriveras den inte bort? Jag har koll på derivata och vad det är i sin definition, men jag förstår liksom inte varför en konstant inte deriveras bort här. Om f(x) = c så är ju f'(x) = 0. 

Om det inte är så att a i detta fall räknas som en konstant som t.ex. talet e? Eller snarare som e^x. 

Pieter Kuiper skrev:

Du misstolkar räkneregler.

Tänk tillbaka till vad derivatan är: $\frac{{\rm d}f(x)}{{\rm d} x} = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.

Det är alltså grafens lutning. Tänk mer grafiskt!

Konstanta faktorer ändrar funktionen och dess lutning på samma sätt: $\frac{{\rm d}}{{\rm d} x}(\frac{1}{2}a x^2) = \frac{1}{2}a \frac{{\rm d}x^2}{{\rm d} x}  = a x.$

Är helt med på det. Ska försöka derivera detta med derivatans definition

filipsrbin skrev:

Det är här jag blir förvirrad. Om a är en konstant, varför deriveras den inte bort? Jag har koll på derivata och vad det är i sin definition, men jag förstår liksom inte varför en konstant inte deriveras bort här. Om f(x) = c så är ju f'(x) = 0. 

Om det inte är så att a i detta fall räknas som en konstant som t.ex. talet e? Eller snarare som e^x. 

Vi tar ett exempel:

Vad är x-derivatan av 3x?

Yngve skrev:

filipsrbin skrev:

Det är här jag blir förvirrad. Om a är en konstant, varför deriveras den inte bort? Jag har koll på derivata och vad det är i sin definition, men jag förstår liksom inte varför en konstant inte deriveras bort här. Om f(x) = c så är ju f'(x) = 0. 

Om det inte är så att a i detta fall räknas som en konstant som t.ex. talet e? Eller snarare som e^x. 

Vi tar ett exempel:

Vad är x-derivatan av 3x?

Det är 3.

filipsrbin skrev:

Det är 3.

Bra. Om du nu kallar 3 för a så blir uttrycket ax. Vad är x-derivatan av ax?

Yngve skrev:

filipsrbin skrev:

Det är 3.

Bra. Om du nu kallar 3 för a så blir uttrycket ax. Vad är x-derivatan av ax?

Ja, då blir det ju a, men vad händer med 1/2 framför? Slås den ut av 2:an som kommer ner från t^2 ? Så att det blir 2/2 = 1 ?

filipsrbin skrev:

Ja, då blir det ju a, men vad händer med 1/2 framför? Slås den ut av 2:an som kommer ner från t^2 ? Så att det blir 2/2 = 1 ?

Bra.

Ja, t-derivatan av $\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ är lika med $\frac{1}{2}\cdot a\cdot 2\cdot t^1$, vilket kan förenklas till $a\cdot t$, dvs $at$.

Yngve skrev:

filipsrbin skrev:

Ja, då blir det ju a, men vad händer med 1/2 framför? Slås den ut av 2:an som kommer ner från t^2 ? Så att det blir 2/2 = 1 ?

Bra.

Ja, t-derivatan av $\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ är lika med $\frac{1}{2}\cdot a\cdot 2\cdot t^1$, vilket kan förenklas till $a\cdot t$, dvs $at$.

Okej toppen! Stort tack för din hjälp. Väldigt grundläggande frågor kanske men vill verkligen förstå derivering och rörelse ändå ner till kärnan :)!