17 svar
89 visningar
Alex; behöver inte mer hjälp
Alex; 404
Postad: 27 nov 14:18

Harmonisk svängningsrörelse

En partikel med massan 350g utför en harmonisk svängning med amplituden 0,15 m kring ett jämviktsläge. Svängningstiden är 1,5s. 

a) Hur stor är den resulterande kraften på partikeln i det ögonblick då avståndet från jämviktsläget är 0,10m?

b) Hur stor är fjäderkraften i samma ögonblick?

 Lösning:

Den resulterande kraften på en partikel som utför en harmonisk svängningsrörelse är F=-ky.

Givet att  m=0,35kg, A=0,15m, T=1,5 där

T=2pi roten ur(m/k) och K=(m*4*pi^2)/(T^2)

k=(0,35*4*pi^2)/(1,5^2)=~ 6,14 N/m.

Elongationen y=(+0,10) och y= (-0,10).

Fr=(-6,14)*(0,10)=(-0,614) N riktad nedåt mot jämviktsläget då partiklen befinner sig ovanför jämviktsläget.

Fr=(-6,14)*(-0,10)=(0,614) N riktad uppåt mot jämviktsläget då partikeln befinner sig nedanför jämviktsläget.

När partikeln befinner sig över jämviktsläget är Ffj=Fr+Fg => Ffj=(0,614)+(0,35*9,82)=4,051N. Jag väljer det positiva värdet på Fr eftersom den är riktad uppåt när partikeln befinner sig under jämviktsläget.

När partikeln befinner sig under jämviktsläget är Fr=Ffj-Fg => Ffj=Fg-Fr=(0,35*9,82)-(0,614)=2,823N.

Om jag sätter Fr=(-0,614) så blir Ffj=4,051, vilket är fel. Någon som skulle kunna förklara varför det blir fel?

Vad är det som säger att partikeln svänger i vertikalled?

Rörelsen kan lika väl ske i horisontalled, då kommer inte mg med i ekvationen.

Alex; 404
Postad: 27 nov 15:53

Jag antar att rörelsen är vertikal därför att det inte finns någon dragkraft eller någon liknande kraft som bidrar till en resulterande kraft.

Vad har facit för svar?

Alex; 404
Postad: 27 nov 17:35

Har tyvärr inte svaret.

summa krafter är det som orsakar acceleration enligt Newton

F = ma

En harmonisk svängningsrörelse kan generellt skrivas som 

s = A*sin(ωt+φ)

Där s är sträckan, dvs avstånd från jämnviktsläget
A är amplituden
ω är vinkelhastigheten dvs 2pi*f = 2πT
φ är fasförskjutningen, som i det här fallet kan sättas till 0.

accelerationen är andraderivatan sålunda (i detta fall)

a=A*ω2*sin(ωt)*(-1) och kraften är alltså m*a

Då måste vi beräkna vad sin(omega*t) har för värde då avståndet är 0,1

0,1 = 0,15*sin(omega*t) => sin(omega*t) = 1/1,5

Vi får då

F = -0,35*0,15*(2*3,14/1,5)2/1,5 = 0,61

Minustecknet kan vi ignorera eftersom det bara anger riktningen, och den är ju helt beroende av åt vilket håll vi definierat positiv riktning.

Alex; 404
Postad: 27 nov 19:49

Jag förstår.  Vi kan alltså beräkna accelerationen med sambandet
a=-w2*A*sin(wt)

a= -(2pi/T)2*A*sin(wt)

Eftersom vi inte vill beräkna den maximala accelerationen, utan istället vill veta a när elongationen är y=0,1, så måste vi bestämma sin(wt). Sin(wt) är alltså inte lika med. 

Vi använder y=Asin(wt) där  sinwt=y/A=(1/1,5).

accelerationen blir 

a=- (2pi/1,5)2 * (0,15)*(1/1,5)=~ 1,755 m/s2

Fres =m*a= 0,35*1,755=~ 0,614 N.

Då är jag med.
—————————————————-

Nu kan vi bestämma fjäderkraften.

När partikeln är över jämviktsläget är

Ffj<Fg och Fr=Fg-Ffj <=> Ffj=Fg-Fr

När partikeln är under jämviktsläget är

Ffj>Fg och Fr=Ffj-Fg <=> Ffj=Fr+Fg

stämmer detta? 

Alex; 404
Postad: 29 nov 08:50

Någon som kan vägleda mig vidare?

Jag har räknat ut accelerationen och vill nu bestämma fjäderkraften.

Om vi utgår från att svängningsrörelsen sker i vertikalled, och kallar den  totala kraften på partikeln F (som du räknat ut till 0,61 N)

När partikeln är under jämnviktsläget verkar fjäderkraften uppåt och tyngdkraften (mg) nedåt vilket ger sambandet (positiv riktning uppåt)

F = Ffjäder-mg

När partikeln är över jämnviktsläget verkar krafterna åt samma håll, om vi fortfarande har positiv riktning upp får vi

F = -mg-Ffjäder

I det fall svängningen sker i horisontell riktning är F = Ffjäder eftersom inga andra krafter verkar på partikeln i den ledden.

Alex; 404
Postad: 29 nov 18:15

Varför är Fres= -Fg-Ffjäder när partikeln befinner sig över jämviktsläget. När jag löste en uppgift i min lärobok så var fjäderkraften riktad uppåt när partikeln befann sig över jämviktsläget. En lärare på youtube löste uppgiften på samma sätt, dvs ställde sambandet Fres=Ffjäder -Fg över jämviktsläget.

Jag vet att det är något som jag missat men förhoppningsvis kan ni ta reda på det. Här är en bild på lösningen till uppgiften. 


Hm, jag har nog virrat till det, jag försöker reda upp det i morgon.

Det blev lite fel i #9, förhoppningsvis stämmer resonemanget bättre här:

Accelerationen och därmed också kraften på partikeln är i varje läge riktad mot jämnviktsläget. Jag avser här summan av de krafter som verkar på den.

De krafter som verkar på partikeln är 

Fjäderkraften som varierar i storlek beroende på hur långt utdragen fjädern är och Tyngdkraften som är konstant.

Riktningen på dessa två krafter är, som du påpekade, konstant.

Vi kan teckna sambandet

F = Ffjäder + Tyngdkraft.  Detta gäller under hela rörelsen.

Summakraften F ändrar dock riktning, annars skulle inte accelerationen kunna göra det.

Sätter vi in siffror och lägger positiv riktning uppåt får vi när partikeln är under jämnviktsläget, och accelerationen är riktad uppåt:

0,61 = Ffjäder - 0,35*9,81 => Ffjäder = 3,435+0,61 = 4,0 N

När partikeln är över jämnviktsläget är summakraften riktad nedåt och vi får

-0,61 = Ffjäder - 0,35*9,81 => Ffjäder = 2,8 N

Alex; 404
Postad: 30 nov 13:45

Suveränt!
Man kan alltså beräkna Fres=m*a

där a=-w2Asin(wt) och sin(wt)=y/A).

eller Fres= -ky.

Finns det någon skillnad mellan dessa två sätten eller kan båda användas beroende på vad som är givet i uppgiften?

Eftersom y är positiv över jämviktsläget och y är negativ under, får vi ett positivt och ett negativt värde på Fres.  

  • Över jämviktsläget är Fres=Ffj-Fg, uppåtriktad.
  • Under jämviktsläget är -Fres=Ffj-Fg, nedåtriktad. 

    Har jag missat något?

Det är inte y som är negativt resp positivt över eller under jämviktsläget, utan accelerationen dvs y'', om du definierat positiv riktning uppåt. Givetvis kan du lägga origo i jämnviktsläget och då stämmer det du skrev, men poängen och det viktiga är att det är accelerationen och därmed kraften som byter riktning vid jämnviktsläget. 

De två metoderna ger samma svar och är likvärdiga, beroende på  vad som är givet kan man välja det som passar bäst.

Alex; 404
Postad: 30 nov 15:26

Jag förstår. Kan du förklara vilka vinklar ger maximal elongationen, hastighet och accelerationen.

Elongationen: y=Asin(wt) är ju maximal är sin(wt) är maximal. Är det när sin(wt)=1 eller -1 ? eller beror det på om uttrycket är negativt eller positivt?

v=WAcos(wt) och a= -w2Asin(wt) 

Alex; skrev:

Jag förstår. Kan du förklara vilka vinklar ger maximal elongationen, hastighet och accelerationen.

Elongationen: y=Asin(wt) är ju maximal är sin(wt) är maximal. Är det när sin(wt)=1 eller -1 ? eller beror det på om uttrycket är negativt eller positivt?

Den är max vid bägge dessa ställen men åt olika håll. + eller - är bara en fråga om hur man har definierat positiv riktning. 

v=WAcos(wt) och a= -w2Asin(wt) 

Samma sak här, när cos är 1 eller -1 är farten som störst. Dvs när jämnviktsläget passeras.

accelerationen är som störst när elongationen är som störst, dvs i ytterlägena.

Alex; 404
Postad: 30 nov 18:19

Toppen! Om man vill använda att Fr=-ky, så lägger man origo i jämviktsläget. Då är elongationen y positiv över jämviktsläget och negativ under. Tänker jag rätt här?

Fr=-ky=-(6,14)*(0,1)=0,614N.

Fr=-ky=-(6,14)*(-0,1)=(-0,614)N.

Alex; 404
Postad: 1 dec 14:08

Stort tack för hjälpen Ture.

Svara
Close