Hitta jämna derivator i x = 1 och x = 0 av ett 'jobbigt' polynom

Hej! Jag håller på med en integral och den bisarra processen har slutligen lett mig till att jag behöver alla jämna derivator i $x=0$ och $x=1$ av polynomet

$\displaystyle P_k\left(x\right) = x^{n-1}\prod_{j=0}^{n}\left(j+k-n-xk\right)$

( $n$ är ett heltal $\geq k$ ) för att få fram värdet på min integral

Det känns mycket besvärligt att hitta den $m$ :te derivatan av denna funktion med produktregeln etc, så jag har försökt tänka på andra sätt. En ide jag hade var att först ta log-derivatan, vilket ger att

$\displaystyle \frac{P_k^'(x)}{P_k(x)}= \underbrace{\frac{n-1}{x}-k\sum_{j=0}^{n}\frac{1}{j+k-n-xk}}_{Q_0(x)}$

$Q_0$ är lätt att ta ett arbiträrt antal derivator av, så det har jag försökt utnyttja. Vi låter den $m$ :te derivatan av $Q_0$ vara $Q_m$ . Multiplicera båda led med $P_k(x)$ vilket ger

$\displaystyle P_k^'\left(x\right) = P_k\left(x\right)Q_0\left(x\right)$ och derivering ger

$\displaystyle P_k^{(2)}\left(x\right) = P_k^'\left(x\right)Q_0\left(x\right) + P_k\left(x\right)Q_1\left(x\right) = P_k\left(x\right)\left(Q_0\left(x\right)^2 + Q_1\left(x\right)\right)$

Sedan kan vi derivera igen vilket, efter lite algebra, ger

$\displaystyle P_k^{(3)}\left(x\right) = P_{k}\left(x\right)\left(Q_{0}(x)^{3}+3Q_{0}\left(x\right)Q_{1}\left(x\right)+Q_{2}\left(x\right)\right)$

Generellt får vi att $P_k^{(m)}\left(x\right) = P_k\left(x\right)R_m\left(x\right)$ där $R_m\left(x\right)$ uppfyller rekursionen

$R_1\left(x\right) = Q_0\left(x\right)$
$R_{m+1}\left(x\right) = Q_0\left(x\right)R_{m}\left(x\right) + R_{m}^'\left(x\right)$

Här har jag dock fastnat. Om man kan hitta en sluten form för $R_m$ uttryckt i $Q_i$ skulle vi kunna få ett slutet uttryck för derivatorna av $P$ , men jag har inga ideer på hur man kan lösa sådana här rekursionsproblem. Har ni några ideer med rekursionen / ett annat sätt att hitta derivatorna av $P$ ?

Så Pk definieras av andra raden och du vill bestämma Pk'(0) och Pk'(1)?

Är det problemet?

För x= 0 fallet är det väl enklast att serieutveckla

Pk(x) = a + bx + ...

Och strunta i att utvärdera koeffixienterna förutom den andra eftersom

Pk'(0) = b

För x=1 kan vi derfiniera

Rk(x) = Pk(x + 1)

och göra samma sak.

Annars har jag missförstått frågan.

Edit:

Ah missade att det var alla jämna derivator och inte bara några specifika.

Då påbörjar jag ett nytt försök.

Jag vill börja med att bara utforska omskrivningar av polynomet så att det blir lite mer symmetriskt. Jag lägger till kn som subscript för att betona att n också är ett index.

Jag skriver bara ut några omskrivningar gjort till att börja med. Nedan är inte någon full lösning.

$P_{kn}(x) = x^{n - 1} \prod_{j = 0}^n (j + k - n - xk)$

Först och främst så ser det ut som att vi kan göra en del algebraiska omskrivningar i ett försök att exponera fler symmetrier

$P_{kn}(x) = x^{n - 1} \prod_{j = 0}^n (j - n + k(1 - x))$

Eftersom j räknar från 0 till n så kommer j - n = -(n - j) bara att räkna upp -n, -(n - 1), -(n - 2), ..., -1, 0. Dvs de negativa heltalen med belopp mindre eller lika med n, bara i omvänd ordning så vi kan räkna från litet tills stortt vilket blir lättare att läsa

$P_{kn}(x) = x^{n - 1} \prod_{j = 0}^n (k(1 - x) - j)$

Vi bryter ut k så att vi får

$P_{kn}(x) = \cfrac{1}{k^n} x^{n - 1} \prod_{j = 0}^n ((1 - x) - \cfrac{j}{k})$

eller om vi flyttar om så att vi lättare kan läsa av nollställena

$P_{kn}(x) = \cfrac{(-1)^{n + 1}}{k^n} x^{n - 1} \prod_{j = 0}^n (x - 1 + \cfrac{j}{k})$

Hittills har jag bara gjort omskrivningar och så får vi se om jag kommer vidare därifrån men jag har svårt att tänka mig att någon av dessa inte är användbar.

Jag börjar bli skeptisk om vi kommer hitta någon trevlig formel här.

Att bestämma derivatorna $P^{(s)}(0)$ är ekvivalent med att hitta de jämna koefficienterna till polynomets utvecklade form eftersom $P^{(s)}(0) = s! a_{s}$ där $a_s$ där $a_s$ är den s:e koefficienten i utvecklingen (förutsatt att s är mindre än polynomets grad)

Att finna koefficienterna till ett polynom givet dess nollställen är rent aritmetiskt trivialt men finns inte i allmännhet slutna formler som är tillfredställande.

Vi kan exempelvis använda Vietes formler (https://en.wikipedia.org/wiki/Vieta%27s_formulas)

där vi borde få rent konceptuellt att

$a_{n - k} = (-1)^{k} a_n \sum_{1 \leq i_1 \leq i_2 \leq ... i_k \leq n } \prod_{j = 1}^k r_{i_j}$

Kanske att våra nollställen här samspelar på något spännande sätt osm gör att de tar ut varandra men jag skulle själv göra en numerisk studie innan jag började hoppas.

Mitt nästa mål är att se om jag kan göra någon ekvivalent till variabelseparation för att försöka separera inflytandet hos k och n.

Svara

Visa senaste svar