Hitta antalet permutationer sigma som uppfyller sigma*alpha*sigma⁻¹=beta

Jag började tänka på den sista parentesen, om 7 ska landa på 7 efter flytt, köra a, flytt tillbaka, så måste flytten ta den till 9, annars åker ett annat tal tillbaka istället.

Lite samma princip om vi tittar på tex de andra, om fem tal ska flyttas, rotera och sen samma fem tal ska tillbaka i rätt ordning så får vi välja en flytt som matchar 5-loopen i a men 5-loopen i b, och i rätt ordning, det enda vi egentligen kan välja är var vi börjar, så fem alternativ. 

5*3*1=15

Micimacko skrev:

Jag började tänka på den sista parentesen, om 7 ska landa på 7 efter flytt, köra a, flytt tillbaka, så måste flytten ta den till 9, annars åker ett annat tal tillbaka istället.

Lite samma princip om vi tittar på tex de andra, om fem tal ska flyttas, rotera och sen samma fem tal ska tillbaka i rätt ordning så får vi välja en flytt som matchar 5-loopen i a men 5-loopen i b, och i rätt ordning, det enda vi egentligen kan välja är var vi börjar, så fem alternativ. 

5*3*1=15

Tack för svar! Jag tror att jag nästan förstår.

Har jag tolkat det rätt om poängen alltså är att om man jämför (som ett exempel) trecyklerna: för $\alpha$ och $\beta$ (5 8 7) och (3 9 4). $\sigma^{-1}$ måste "översätta" $\beta$'s trecykel till $\alpha$s och alltså måste 3, 9 och 4 avbildas på 5, 8 och 7. (5 8 7), (8 5 7) eller (7 8 5) är de möjliga val som uppfyller detta. Från det får vi tre val.

Ja, du verkar ha förstått det rätt. Den här uppgiften handlar om konjugering från $\alpha$ till $\beta$.

För att få konjugera $\sigma \alpha \sigma^{-1}=\beta$ måste $\alpha$ och och $\beta$ ha samma cykelstruktur (och det har de ju, nämligen $(5,3)$ (vi struntar i den sista ettan eftersom den är överflödig)). Därmed kan vi med säkerhet säga att det finns åtminstone en permutation $\sigma$.

Nu är alltså frågan rent kombinatorisk. Hur många $\sigma$ finns det som kan genomföra en sådan mappning?

Uppenbarligen kan vi bara kombinera "5-cykeln" mot "5-cykeln" och "3-cykeln" mot "3-cykeln" på 1 sätt.

Och som du konstaterar kan vi sedan rotera inom grupperna för varje "översättning". "3-cykeln" kan avbildas på 3 olika sätt och "5-cykeln" kan avbildas på 5 olika sätt.

Alltså 1 cykelsgruppsmatch $(5,3)\to(5,3)$ med $5\cdot 3=15$ permutationer $\sigma$ som konjugerar $\alpha$ till $\beta$. 

Bonusfråga: på hur många sätt hade man kunnat kombinera cykelstrukturen $(5,5,2)$?

Förlåt att jag glömde svara på denna gamla tråd.

Nu har jag återkommit till denna tråd (utan att svara på den) för att repetera den här uppgiften två gånger vid två separata tillfällen. Förstår hur den funkar nu, tusen tack!