Hitta avstånd och vinkel mellan två polynom i rummet av kontinuerliga funktioner

Kan någon bekräfta att jag har gjort rätt nedanför?

---

Jag märkte att jag kanske gjorde fel i mitt ursprungliga inlägg när jag skulle hitta avståndet mellan två polynom. Såhär fick jag det korrigerat:

$\|p-q\|=\sqrt{\langle p-q, p-q\rangle}$

Därefter kan vi substituera in $p(t) - q(t) = -t^2 + t$ i det inre produkten som ges av:

$\langle f, g\rangle=\int_0^1 f(t) g(t) d t$

Då får vi:

$\|p-q\| =\sqrt{\langle p-q, p-q\rangle} =\sqrt{\int_0^1 (-t^2 + t)^2 d t} =\sqrt{\int_0^1 (t^4 - 2t^3 + t^2) d t} =\sqrt{\left[\frac{t^5}{5} - \frac{t^4}{2} + \frac{t^3}{3}\right]_0^1} =\sqrt{\frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}} =\sqrt{\frac{1}{30}}$

Sen nu behöver jag bara hitta vinkeln mellan dessa två polynom. Vi använder formeln:

$\cos \angle(p, q) = \frac{\langle p, q\rangle}{\|p\|\|q\|}$

Vi vet redan att $\|p\|$ och $\|q\|$ är $\frac{5}{2 \sqrt{3}}$ och $\frac{2}{\sqrt{3}}$ enligt utvärderingen av integralerna som skrevs:

$\left\{\sqrt{\int_0^1(1+t)\left(1+t^2\right) d t}, \sqrt{\int_0^1(1+t)^2 d t}, \sqrt{\int_0^1\left(1+t^2\right) d t}\right\}$

$\left\{\frac{5}{2 \sqrt{3}}, \sqrt{\frac{7}{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\right\}$

Vi kan sedan utvärdera det inre produkten $\langle p, q\rangle$ på följande sätt:

$\langle p, q\rangle = \int_0^1 (1 + t)(1 + t^2) dt = \int_0^1 (1 + t + t^2 + t^3) dt = \left[t + \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + \frac{t^4}{4}\right]_0^1 = \frac{5}{2\sqrt{3}}$

Så vi får:

$\cos \angle(p, q) = \frac{\langle p, q\rangle}{\|p\|\|q\|} = \frac{\frac{5}{2\sqrt{3} } }{\sqrt{\frac{7}{3} } \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Vi kan sedan använda arccos-funktionen för att beräkna vinkeln:

$\angle(p, q) = \arccos \frac{5}{4 \sqrt{\frac{7}{3}}} \cdot \frac{180}{\pi} \approx 35.08°$

Så vinkeln mellan polynomen är ungefär 35.08°.