Hitta den punkt på linjen som är närmast punkten P

OK. Vektorn $\overline{PQ}=\begin{bmatrix}2\\0\\-1\end{bmatrix}$, linjens riktningsvektor $\mathbf{v}=\begin{bmatrix}2\\-1\\1\end{bmatrix}$.

Vi söker s i figuren. Pytagoras: $s^2+|\overline{QR}|^2=|\overline{QP}|^2$.

Med projektion: $|\overline{QR}|= |\overline{QP}\bullet \mathbf{e}|=\dfrac{3}{\sqrt{6}}$, där e är en enhetsvektor parallell med linjens riktningsvektor v.

Nu tror jag du kan lösa ut s på egen hand.

Så linjen är $(3,-1,0) + t(2,-1,1)$ och du har infört beteckningen $Q=(3,-1,0)$?

Precis så. jag tror det är tryckfel i problemtexten.

Jag fattar det i så fall som att $\overline{PQ}=(2,-2,-1)$ varpå $|\overline{PQ} \cdot e| = 5/\sqrt{6}$.

Ett alternativt sätt att lösa denna uppgift är att minimera avståndet mellan punkten $(3+2t,-1-t,t)$ på linjen och $P$, d.v.s. minimera uttrycket $\sqrt{(2+2t)^2 + (-2-t)^2 + (t-1)^2}$, vilket ger samma lösning som att minimera $(2+2t)^2 + (-2-t)^2 + (t-1)^2 = 6 t^2 + 10 t + 9$.

Tack så mycket för era svar, och ni har rätt i att jag fått med ett fel i texten det ska vara linjen $(3,-1,0)+t(2,-1,1)$ och jag satte $Q=(3,-1,0)$ för att kunna beräkna PQ. 

Jag ska testa att räkna enligt era rekommendationer under morgondagen, min tanke tidigare var att jag kunde ta fram den kortaste sträckan mellan punkten P och linjen L för att sedan ta fram den sökta punkten som då ligger på sträckans andra ändpunkt (motsatt sida från P). 

Jag kikade även i mitt facit under kvällen där de hade gjort på samma sätt som mig men sedan fått fram punkten på L genom $OQ+proj_n(PQ)$ där OQ och PQ är vektorer. Vad har de använt för metod? 

dr_lund skrev:

OK. Vektorn $\overline{PQ}=\begin{bmatrix}2\\0\\-1\end{bmatrix}$, linjens riktningsvektor $\mathbf{v}=\begin{bmatrix}2\\-1\\1\end{bmatrix}$.

Vi söker s i figuren. Pytagoras: $s^2+|\overline{QR}|^2=|\overline{QP}|^2$.

Med projektion: $|\overline{QR}|= |\overline{QP}\bullet \mathbf{e}|=\dfrac{3}{\sqrt{6}}$, där e är en enhetsvektor parallell med linjens riktningsvektor v.

Nu tror jag du kan lösa ut s på egen hand.

Om jag får fråga, har du några tips på vad jag kan söka på för att få fram exempeluppgifter/genomgång med denna typ av lösning? Skulle vilja lära mig metoden genom att se exempel, jag får mest fram uppgifter där de tar fram avståndet mellan en punkt och en linje när jag söker.

Edit: Jag avläste fel i din text. Ursäkta. Pkt Q ska naturligtvis vara (3, -1, 0) och $\overline{PQ}=\begin{bmatrix}2\\-2\\-1\end{bmatrix}$, och (se min figur)

$|\overline{QR}|=\dfrac{5}{\sqrt{6}}$. Freewheeling var mer klarsynt än jag.

Jag hittade denna länk på nätet. Verkar finnas många fina övningar.

Ur en mer geometrisk utgångspunkt, verkar denna bok vara intressant.

dr_lund skrev:

Edit: Jag avläste fel i din text. Ursäkta. Pkt Q ska naturligtvis vara (3, -1, 0) och $\overline{PQ}=\begin{bmatrix}2\\-2\\-1\end{bmatrix}$, och (se min figur)

$|\overline{QR}|=\dfrac{5}{\sqrt{6}}$. Freewheeling var mer klarsynt än jag.

Jag hittade denna länk på nätet. Verkar finnas många fina övningar.

Ur en mer geometrisk utgångspunkt, verkar denna bok vara intressant.

Stort tack för hjälpen, detta hjälpte mycket!