Hitta en bas för snittet av V och W och V+W

Hej!

Jag vet att definitionen för VsnittW ={x€R⁴|x€V, x€W} , men hur börjar man hitta en bas för snittet? När de säger V+W antar jag att menar V+W sådant att v€V och w €W och de är delmängd av något vektorrum kanske U (delrum)?

V och W är delrum. Då är V $\cap$ W och V + W också delrum.

Säg att du har en bas (v_k $)_{k = 1}^{n}$ för V och en bas (w_l $)_{l = 1}^{m}$ för W. Om man vill hitta vektorer som ligger i både V och W så får man hitta lösningar till

$\sum_{k = 1}^{n} α_{k} v_{k} = \sum_{l = 1}^{m} β_{l} w_{l}$ .

Så ett första steg är väl att hitta baser för V och W.

PATENTERAMERA skrev:
V och W är delrum. Då är V $\cap$ W och V + W också delrum.

Säg att du har en bas (v_k $)_{k = 1}^{n}$ för V och en bas (w_l $)_{l = 1}^{m}$ för W. Om man vill hitta vektorer som ligger i både V och W så får man hitta lösningar till

$\sum_{k = 1}^{n} α_{k} v_{k} = \sum_{l = 1}^{m} β_{l} w_{l}$ .

Så ett första steg är väl att hitta baser för V och W.

Såhär gjorde jag. Är det liksom rätt? Snittet mellan dem blev {0,1,1,0} och sen V+W fick jag genom gauselimination för att se om de är en bas av V+W och om de är linjärt oberoende.

Jag tror den första är rätt.

På den andra så tror jag det blir fel. Det finns en formel som säger att dim(V + W) = dimV + dim W - dim(V $\cap$ W). Så du borde få tre vektorer på den andra.

PATENTERAMERA skrev:
Jag tror den första är rätt.

På den andra så tror jag det blir fel. Det finns en formel som säger att dim(V + W) = dimV + dim W - dim(V $\cap$ W). Så du borde få tre vektorer på den andra.

Jag känner inte till den där formel tyvärr men V+W kan man väl hitta mha gauselimination eller? Vi har ju att V+W=span( (1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0))

Den finns säkert i boken. Kanske som en övning.

Notera att det två sista vektorerna är de samma.

En bas för W ges av {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0)}.

Så V + W = span((1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 0)).

PATENTERAMERA skrev:
Den finns säkert i boken. Kanske som en övning.

Notera att det två sista vektorerna är de samma.

En bas för W ges av {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0)}.

Så V + W = span((1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 0)).

Hur fick du en bas för W? Jag valde att sätta x2= r så x3=r och x1=x4=0 vi får då span{( 0,1,1,0)}

En godtycklig vektor i W kan skrivas (s, t, t, 0), s, t $\in ℝ$ .

(s, t, t, 0) = s(1, 0, 0, 0) + t(0, 1, 1, 0). Så (1, 0, 0, 0) och (0, 1, 1, 0) bildar en bas för W.

PATENTERAMERA skrev:
En godtycklig vektor i W kan skrivas (s, t, t, 0), s, t $\in ℝ$ .

(s, t, t, 0) = s(1, 0, 0, 0) + t(0, 1, 1, 0). Så (1, 0, 0, 0) och (0, 1, 1, 0) bildar en bas för W.

Jag tror inte jag är med på hur du ens får den här godtyckliga vektor (s,t,t,0)? Vi har ju fått givet att x2-x3=0 och x4=0 för W. Kan man ej anta att x1=0 här för den nämns ju ej i ekvationen?

Just det, du har inga villkor på x₁, så x₁ kan ha vilket värde som helst, tex 0, men även tex 1, 3 eller sqrt(2). Tex vektorn (5, 4, 4, 0) ligger i W, men den kan du inte få till om du använder (0, 1, 1, 0) som bas.

PATENTERAMERA skrev:
Just det, du har inga villkor på x₁, så x₁ kan ha vilket värde som helst, tex 0, men även tex 1, 3 eller sqrt(2). Tex vektorn (5, 4, 4, 0) ligger i W, men den kan du inte få till om du använder (0, 1, 1, 0) som bas.

Ok , eftersom x1 saknar villkor så kan den anta vilket värde som helst dvs 1, 0 ,2 osv så vi kan sätta den till en fri variabel isåfall dvs x1=s , x2=x3=t och x4=0

Precis.

Svara

Visa senaste svar