Hitta för vilka reella alfa som integralen konvergerar samt dess värde

Det verkar att du har tappat bort $2\pi$ när du integrerat m.a.p. t

När du gör variabelbyte $v = 1+r^2$, så måste du också omvandla integrationsgränser:

• undre gränsen $r=0$ ger $v = 1+0^2 = 1$
• övre gränsen $r = \infty$ ger $v = \lim_{R\to \infty} 1+R^2 = \infty$.

Därmed är

$\displaystyle \int_0^{2\pi} \int_0^\infty \frac{r}{(1+r^2)^\alpha} dr\,dt = \pi \int_1^\infty \frac{dv}{v^\alpha} = \pi \int_1^\infty v^{-\alpha} dv$.

Primitiv funktion är $\ln v$ endast ifall $\alpha = 1$. För alla övriga värden på $\alpha$ är primitiv funktion $\dfrac{v^{1-\alpha}}{1-\alpha}$. Man får därmed ett ändligt integralvärde när $\alpha > 1$.

LuMa07 skrev:

Det verkar att du har tappat bort $2\pi$ när du integrerat m.a.p. t

När du gör variabelbyte $v = 1+r^2$, så måste du också omvandla integrationsgränser:

• undre gränsen $r=0$ ger $v = 1+0^2 = 1$
• övre gränsen $r = \infty$ ger $v = \lim_{R\to \infty} 1+R^2 = \infty$.

 

Därmed är

$\displaystyle \int_0^{2\pi} \int_0^\infty \frac{r}{(1+r^2)^\alpha} dr\,dt = \pi \int_1^\infty \frac{dv}{v^\alpha} = \pi \int_1^\infty v^{-\alpha} dv$.

 

Primitiv funktion är $\ln v$ endast ifall $\alpha = 1$. För alla övriga värden på $\alpha$ är primitiv funktion $\dfrac{v^{1-\alpha}}{1-\alpha}$. Man får därmed ett ändligt integralvärde när $\alpha > 1$.

Jaha okej jag förstår. Jag fick nu samma som dig!

Jag antar att man inte behöver räkna ut integralens värde med de bytta gränserna utan säga att om alfa>1 så konvergerar integralen med denna värdet pi/(1-alfa)?