Hitta konjugatpartition i Sn, varför fungerar metoden?

Jag skulle tänka på $\sigma$ som att du "översätter" $\alpha$ till $\beta$ eller tvärtom. Mer precist så gäller det att permutationen $(5\ 2\ 4)(1\ 3)$ ger oss samma resultat som om vi

- Först "byter namn" på talen genom att vi skickar

$1\to 4$,

$2\to 2$,

$3\to 5$,

$4\to 3$, och

$5\to 1$.

Kalla detta namnbyte (dvs. bijektion) för $\sigma^{-1}$;

- Sedan utför vi permutationen $(1\ 2\ 3)(4\ 5)$. Eftersom 5 numer heter 1, och 3 numer heter 5, och så vidare, så blir detta som om vi utförde $\beta$ fast på ett annat språk, eller med andra namn.

- Sedan byter vi tillbaka namnen med $\sigma$, dvs.

$1\to 5$,

$2\to 2$,

$3\to 4$,

$4\to 1$, och

$5\to 3$.

Summan av kardemumman är att vi får samma sak om vi utför $\beta$ som om vi först översätter till $\alpha$:s språk, utför $\alpha$, och sedan översätter tillbaka.

Om vi till exempel kollar på talet 4, så har vi att $\beta(4) = 5$.

Om vi istället tittar på $\sigma\alpha\sigma^{-1}$ så skickas 4 först till 3 med $\sigma^{-1}$, sedan skickas 3 till 1 med $\alpha$, och sist skickas 1 till 5 via $\sigma$, vilket sammantaget ger $\sigma(\alpha(\sigma^{-1}(4)))=5$.

Anledningen till att vi gör $\sigma^{-1}$ först är för att skrivsättet $\sigma\alpha\sigma^{-1}$ brukar betyda att ett element $x$ skickas till $\sigma(\alpha(\sigma^{-1}(x)))$, enligt komposition av funktioner. Vi hade också kunnat skriva $\sigma^{-1}\alpha\sigma$ om vi föredrar det.

Två permutationer $\alpha$ och $\beta$ kallas konjugerade om det finns något $\sigma$ sådant att $\sigma \alpha \sigma^{-1} = \beta$.

Man kan visa följande:

Två permutationer $\alpha$ och $\beta$ är konjugerade om och endast om de har samma cykelstruktur.

Samma cykelstruktur betyder att de har lika många 1-cykler, lika många 2-cykler, etc. Exempelvis har $(1\ 2\ 3)(4\ 5)$ och $(3\ 4\ 5)(1\ 2)$ samma cykelstruktur, men bägge har annan cykelstruktur än $(1\ 2)(3)(4\ 5)$.

Det där var en väldigt bra och detaljerad förklaring. Tack så jättemycket!