Hitta konjugatpartition till pi så att konjugatpartitionen tar 1,3,5,7 till något av 2,4,6,8

Är du med på att

$\sigma\pi\sigma^{-1} = (\sigma(1)\sigma(7))\,(\sigma(2)\sigma(4)\sigma(3)\sigma(8))\,(\sigma(5)\sigma(6))\text{?}\qquad (\star)$

Om $1,3,5,7$ ska skickas till $2,4,6,8$, så tror jag facit har tänkt att vi gör det lättaste, kanske mest simpla valet att $\sigma\pi\sigma^{-1}$ skickar $1\to 2$, $3\to 4$, $5\to 6$ och $7\to 8$. Vi ska nu fylla i $(\_\, \_)(\_\, \_\, \_\, \_)(\_\, \_)$. Var än $1$ står måste $2$ följa efter. Var än $3$ står måste $4$ följa, osv. Det enklaste valet blir bara att fylla i från vänster till höger och börja från $1$, då får vi

$\sigma\pi\sigma^{-1}=(1\, 2)(3\,4\,5\,6)(7\, 8)\qquad(\star\star)$

För detta val av $\sigma\pi\sigma^{-1}$ måste vi nu välja $\sigma$ sådan att $\star$ och $\star\star$ är samma permutation. Det kanske enklaste sättet är att jämföra $(\star)$ och $(\star\star)$ position för position från vänster till höger och säga att $\sigma(1)=1$, $\sigma(7)=2$, $\sigma(2)=3$, och så vidare. I cykelform får vi då

$\sigma = (1)(2\, 3\, 5\, 7)(4)(6\, 8)$.

Vi hade också kunnat välja $\sigma$ enligt $\sigma(1)=2$, $\sigma(7)=1$, $\sigma(2)=4$, $\sigma(4)=5$, $\sigma(3)=6$, $\sigma(8)=3$, $\sigma(5)=8$ och $\sigma(6)=7$. På cykelform hade $\sigma$ då blivit $(1\, 2\, 4\, 5\, 8\, 3\, 6\, 7)$. Det jag har gjort här är att jag roterat elementen i samtliga cykler i $\star\star$ ett steg åt höger och sedan jämfört position för position på samma sätt som tidigare med $\star$. Slutresultatet blir ju ändå detsamma, eftersom cykler blir samma oavsett vilket element som står på första platsen (så länge den inbördes ordningen bevaras).

Yes, jag hänger med, ny dag nya tag. 

Tack för att du hjälpte till med förståelsen!