Hitta matris för linjär avbildning

"Bestäm matrisen för den linjära avbildningen i planet som ges av spegling i linjen $y =\hspace{0.17em}kx$, där $k \in \mathrm{ℝ}$."

Jag vet att punkten $(1, k)$ finns på linjen och att längden mellan punkten och origo är $\sqrt{1 + k^2}$.

Normalen blir då $\mathit{n}\mathbf{ }=\hspace{0.17em}\frac{1}{\sqrt{1 + k^2}}\left(\begin{array}{c}1\\ k\end{array}\right)$. 

Speglingen ${\mathit{v}}_s$ av $\mathit{v}$ i $L$ ges av ${\mathit{v}}_s= 2{\mathit{v}}_L - \mathit{v}$. 

Projektionen ${\mathit{v}}_L$ ges av ${\mathit{v}}_L=(\mathit{v}·\mathit{n})\mathit{n}$.

Om $\mathit{v}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ får jag speglingen ${\mathit{v}}_s=\left(\begin{array}{c}\frac{2}{1 + k^2}(x + yk) - x\\ \frac{2k}{1 + k^2}(x + yk) - y\end{array}\right)$ efter några rader beräkningar. Jag vet att det är rätt fram hit enligt facit men nästa steg är att få fram $\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{1 + k^2} - 1& \frac{2k}{1 + k^2} \\ \frac{2k}{1 + k^2}& \frac{2k^2}{1 + k^2} - 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ och jag har verkligen ingen aning om hur de tar det steget. Jag har kommit fram till att det inte kan vara normalvektorn gånger identitetsmatrisen men i övrigt vet jag inte hur man ska tänka.