5 svar
59 visningar
juliegris 12
Postad: 12 okt 2018

Hitta max/min med 3 variabler

f(x, y, z) = 1 − (x − y + z) ^4.

 

Är f(1,1,0) en max/minimipunkt?

 

Försök till lösning:

 

Finner andraderivatan

f´´xx: -12(x-y+z)^2

f´´xy: 12(x-y+z)^2

f´´xz: -12(x-y+z)^2

f´´yy: -12(x-y+z)^2

f´´yz: 12(x-y+z)^2

f´´zz: -12(x-y+z)^2

 

Hessian:

Bryter ut 12(x-y+z)^2  och får en matris med:

-1, 1, -1

1, -1, 1

-1, 1, -1

 

 

Eftersom f(1,1,0) blir 12*(1 -1 +0) ^2 borde hela matrisen bli 0? Tänker jag rätt eller fel? 

Affe Jkpg 3582
Postad: 12 okt 2018

g(t)=1-t4...har uppenbart max för t=0

juliegris 12
Postad: 12 okt 2018
Affe Jkpg skrev:

g(t)=1-t4...har uppenbart max för t=0

 Ja, men jag får det inte att gå ihop med Hessian

Albiki 2912
Postad: 12 okt 2018

Hej!

Funktionens har kontinuerliga partiella andraderivator, vilket medför att funktionens hessian är en symmetrisk matris och dess egenvärden är därför reella tal.

  • Om samtliga egenvärden är strikt positiva så är hessianen positivt definit.
  • Om samtliga egenvärden är strikt negativa så är hessianen negativt definit.

Hessianen är

    H(f)(x,y,z)=12(x-y+z)2·-11-11-11-11-1H(f)(x,y,z) = 12(x-y+z)^{2} \cdot\left(\begin{matrix}-1&1&-1\\1&-1&1\\-1&1&-1\end{matrix}\right).

Albiki 2912
Postad: 12 okt 2018

Egenvärden till den symmetriska matrisen är  -3-3, 00 och 00, vilket indikerar att hessianen H(f)(x,y,z)H(f)(x,y,z) är negativt semi-definit för alla (x,y,z)(x,y,z).

juliegris 12
Postad: 12 okt 2018
Albiki skrev:

Hej!

Funktionens har kontinuerliga partiella andraderivator, vilket medför att funktionens hessian är en symmetrisk matris och dess egenvärden är därför reella tal.

  • Om samtliga egenvärden är strikt positiva så är hessianen positivt definit.
  • Om samtliga egenvärden är strikt negativa så är hessianen negativt definit.

Hessianen är

    H(f)(x,y,z)=12(x-y+z)2·-11-11-11-11-1H(f)(x,y,z) = 12(x-y+z)^{2} \cdot\left(\begin{matrix}-1&1&-1\\1&-1&1\\-1&1&-1\end{matrix}\right).

 Men x - y + z blir ju 0???

Svara Avbryt
Close