Hitta minsta y-värde på y-axeln

Idén kan vara som följande:

1. Döp punkten $P=(t,t^{3})$, där $t \geq 0$.
2. Finn koordinaterna till $M$ med avseende på $t$.
3. Nästa steg är att få fram ekvationen $y=kx+m$ för linje $QM$ (tips: $k_{1} \cdot k_{2} = -1$).
4. Sista steget är att få tag på koordinaterna till $Q$. Men det är ju bara skärningen mellan $QM$ och $y$-axeln. Då får du $y$-koordinaten för $Q$ som en funktion i $t$.

Hur hittar jag koordinaterna till M med t och hur vet man att k1 och k2 är vinkelräta?

Och hur får jag fram en funktion till att börja jobba med? Jag förstår inte.

Jag försökte använda mig av punkten (0,0) för att få fram en funktion till sträckan OP, m=0 men om man sätter in (0,0) blir k också 0 vilket är fel. 

Hur hittar jag koordinaterna till M med t och hur vet man att k1 och k2 är vinkelräta?

Eftersom mittpunktsnormlen till $OP$ passerar mittpunkten till $OP$ måste $M$ vara mittpunkten till $OP$. Jag förmodar att du kanske känner till den sk. mittpunktsformeln från geometrin?

Med $k_{1}$ och $k_{2}$ syftar jag på lutningen på linjerna $OP$ och $MQ$. Om man känner till lutningen på $OP$ kan man få fram lutningen på $MQ$ eftersom de är vinkelräta. Att de är vinkelräta följer definitionsmässigt från att $MQ$ är en mittpunktsnormal till $OP$.

Och hur får jag fram en funktion till att börja jobba med?

Idén här är att introducera en variabel till en punkt som i sig själv är tänkt som en variabel. Den enda punkten i figuren som är möjligt att "dra i"  och "förflytta" längs kurvan till $y=x^{3}$ är just $P$. De övriga punkterna $M$ och $Q$ blir sedermera entydigt definierade, vilket betyder att de är beroende av positionen av $P$. Så vi väljer att kalla $P=(t,t^{3})$ där $t$ är vår variabel. Med andra ord kan vi försöka beskriva samtliga andra punkter i figuren med avseende på $t$, speciellt kan vi uttrycka koordinaterna för $Q$ i $t$. Detta gör problemet avsevärt mycket mer enklare att hantera. 

Funktionen du är på jakt efter dyker upp när du kan uttrycka koordinaterna för $Q$. Hänger du med?

Jag försökte använda mig av punkten (0,0) för att få fram en funktion till sträckan OP, m=0 men om man sätter in (0,0) blir k också 0 vilket är fel. 

Du behöver egentligen bara $k$-värdet för linje $OP$. Emellertid, du vet att $O=(0,0)$ och $P=(t,t^{3})$ ligger på linjen. Kommer du vidare?

Jahaa, jag visste inte vad en mittpunktsnormal var, jag trodde inte det var så viktigt förutom att den befinner sig i mitten. 

Jag har gjort precis som du sa och fick fram att Q-koordinaterna är (0, t^3). 

Hur får jag fram en funktion? Det är nu här jag fastnar för så fort jag har en funktion vet jag Hur jag ska göra: derivera, få fram extrempunkter, sedan göra andraderivatan av extrempunkter...

Du har kommit fram till att P och Q har samma y-koordinat. Det känns osannolikt, och om vi antar att den givna figuren är bra ritad så ser vi att det inte verkar stämma. 

Kolla dina beräkningar igen eller klistra in dem här. 

Här är min lösning, men förstår inte vart jag gör fel. 

Alexandra06 skrev:

Här är min lösning, men förstår inte vart jag gör fel. 

OP har lutningen t², men då har MQ lutningen -1/t².