HItta normal vektorn till en yta

Fastnat på a, integralen blir ju så stort som möjlig då det är positivt inne i integralen, eller har jag fel?, dock så kan jag vet jag inte hur jag ska få tag på normal vektorn n.

På enhetssfären gäller att $\hat{n} = \vec{r} = (x, y, z) .$

PATENTERAMERA skrev:
På enhetssfären gäller att $\hat{n} = \vec{r} = (x, y, z) .$

Varför är det så?

Geometriskt uppenbart. Rita en figur.

Tillägg: 6 mar 2024 17:29

Om du vill göra ett formellt bevis så kan du göra så här.

Säg att du parametriserar sfären med två variabler u och v.

Du kan beräkna en normalvektor till sfären enligt

$\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}$ .

$\vec{r}$ är en normalvektor till sfären om följande gäller

$\vec{r} \times (\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}) = 0 .$

Att visa detta lämnas som övning.

PATENTERAMERA skrev:
Geometriskt uppenbart. Rita en figur.

Tillägg: 6 mar 2024 17:29

Om du vill göra ett formellt bevis så kan du göra så här.

Säg att du parametriserar sfären med två variabler u och v.

Du kan beräkna en normalvektor till sfären enligt

$\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}$ .

$\vec{r}$ är en normalvektor till sfären om följande gäller

$\vec{r} \times (\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}) = 0 .$

Att visa detta lämnas som övning.

Tack för hjälpen

PATENTERAMERA skrev:

Jag testade igen men vet inte hur jag sak få normal vektorn till (x,yz)

Här är mitt försök

Du har visat att $\frac{\partial \vec{r}}{\partial φ} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial θ}$ = $\sin φ \vec{r}$ . Således är $\vec{r}$ parallell med en normalvektor $(\frac{\partial \vec{r}}{\partial φ} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial θ})$ till sfären, och därför själv en normalvektor.

På sfären gäller det att $|\vec{r}|$ =1, således är $\vec{r}$ en enhetsnormal.

PATENTERAMERA skrev:
Du har visat att $\frac{\partial \vec{r}}{\partial φ} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial θ}$ = $\sin φ \vec{r}$ . Således är $\vec{r}$ parallell med en normalvektor $(\frac{\partial \vec{r}}{\partial φ} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial θ})$ till sfären, och därför själv en normalvektor.

På sfären gäller det att $|\vec{r}|$ =1, således är $\vec{r}$ en enhetsnormal.

Okej. Om jag förstår det rätt är normalen parallell med vektor r. r har alltid längd ett, pga sfären är bestämd så. Då är min fråga hur vet jag att r = n = (x,y,z)?

Visa spoiler

Skriv ditt dolda innehåll här

Hur definieras $\vec{r}$ i er bok?

Vi har visat att $\vec{r}$ är en enhetsnormal $\hat{n}$ till sfären. Det finns bara två stycken enhetsnormaler $\vec{r}$ och - $\vec{r}$ . Det är geometriskt uppenbart att $\vec{r}$ är den utåtriktade enhetsnormalen - se #5.

Tillägg: 8 mar 2024 23:02

PATENTERAMERA skrev:
Hur definieras $\vec{r}$ i er bok?

Vi har visat att $\vec{r}$ är en enhetsnormal $\hat{n}$ till sfären. Det finns bara två stycken enhetsnormaler $\vec{r}$ och - $\vec{r}$ . Det är geometriskt uppenbart att $\vec{r}$ är den utåtriktade enhetsnormalen - se #5.

Tillägg: 8 mar 2024 23:02

Kommer inte ihåg hur dem förklarade vektor r i boken.

Har jag rätt om vi har sfären x^2 + y^2 + z^2 = 4 så är normal vektorn (2x,2y,2z)?

I kartesiska koordinater så är (per definition) $\vec{r}$ = (x, y, z).

Du säger ”normalvektorn” som om det bara fanns en enda. Det finns oändligt många normalvektorer (och två enhetsvektorer) till varje punkt på en (slät) yta.

Ja, 2 $\vec{r}$ är en normalvektor till sfären med radie 2, men det är även $\vec{r}$ och $\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}$ .

På varje sfär med centrum i origo så ges den utåtriktade enhetsnormalen av $\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}$ , så speciellt för enhetssfären så har vi att $\hat{n} = \vec{r}$ .

Svara

Visa senaste svar