Hitta planet med en given punkt P som består utav en given linje

Kan du ge hela frågan?

Marilyn skrev:

Kan du ge hela frågan?

Hela frågan står längst upp på bilden! 

OK, fick sätta på mig brillorna :)

Jag skulle välja två punkter på linjen. Det ger tre punkter i planet. Av dem kan du bilda två vektorer. Kryssprodukten mellan dem ger en normalvektor till planet, säg (A, B, C).

Då är planets ekvation Ax+By+Cz = K.

Sätt in någon av punkternas koordinater så får du K.
(Sedan kan du sätta in de andra punkternas koordinater också för att kolla ifall du räknat rätt, men det är inte logiskt nödvändigt och behöver inte redovisas i lösningen  

Marilyn skrev:

OK, fick sätta på mig brillorna :)

Jag skulle välja två punkter på linjen. Det ger tre punkter i planet. Av dem kan du bilda två vektorer. Kryssprodukten mellan dem ger en normalvektor till planet, säg (A, B, C).

Då är planets ekvation Ax+By+Cz = K.

Sätt in någon av punkternas koordinater så får du K.
(Sedan kan du sätta in de andra punkternas koordinater också för att kolla ifall du räknat rätt, men det är inte logiskt nödvändigt och behöver inte redovisas i lösningen  

Den metoden tänkte jag också på! Men innan jag skulle köra den metoden kom jag på att jag även skulle kunna köra metoden på bilden men det visade sig inte fungera men jag fattar inte varför 😫

Sorry, jag fick ett annat akut uppdrag. Jag ska titta på din lösning.

x = 2+2t, y = –1–3t, z = –3+5t

Jag har svårt att läsa din lösning men har du inte valt den givna linjen som normalvektor till det sökta planet? Det funkar inte. Då är bara en punkt på linjen i planet, grejen är att hela linjen ska ligga i planet.

Kanske har jag missförstått?

Marilyn skrev:

x = 2+2t, y = –1–3t, z = –3+5t

Jag har svårt att läsa din lösning men har du inte valt den givna linjen som normalvektor till det sökta planet? Det funkar inte. Då är bara en punkt på linjen i planet, grejen är att hela linjen ska ligga i planet.

Kanske har jag missförstått?

Min logik är: 

1. Ta fram en riktningsvektor till linjen

2. Ta fram en normalvektor till linjen (för jag menar att normalvektorn till linjen bör vara en normalvektor till planet).

3. Eftersom vi redan har en punkt på planet (punkten P) och nu även en normalvektor till planet (vilket borde vara samma som en normalvektor till linjen) kan vi skriva ekvationen för planet! 

Stämmer denna metod? 

Linjen har många normalvektorer. Bara en (2) är normalvektor till det sökta planet.

En linje i rummet har ju inte riktigt en normalvektor. 

jamolettin skrev:

En linje i rummet har ju inte riktigt en normalvektor. 

en linje i rummet borde väll ha oändligt många vektorer som är ortogonal mot  linjen? 
Kan vi inte ta fram en sådan vektor via skalärprodukt med en utav linjens riktningsvektorer  och en vektor <a,b,c> där vektorn <a,b,c> är en vektor som är vinkelrät mot linjen? (Jag har kallat den vektorn för normalvektorn för linjen)

Marilyn skrev:

Linjen har många normalvektorer. Bara en (2) är normalvektor till det sökta planet.

Fattar inte riktigt vad du menar 

Du skriver:

”2. Ta fram en normalvektor till linjen (för jag menar att normalvektorn till linjen bör vara en normalvektor till planet).”

och

”en linje i rummet borde väll ha oändligt många vektorer som är ortogonal mot  linjen? ”

Just det, en normalvektor till en linje i ett plan behöver inte alls vara normalvektor till planet.

Jag ska försöka rita. 

(1) visar en rak väg (linje) genom ett platt landskap (plan). Varningsskylten pekar rakt upp och är normalvektor till både linjen och planet.

(2) visar ett propellerflygplan som står på vägen i vägens riktning. Propellerns blad är alltid normaler till vägen. Men det är bara när ett propellerblad pekar rakt upp (eller rakt ner) som det är normal till planet.

Marilyn skrev:

(1) visar en rak väg (linje) genom ett platt landskap (plan). Varningsskylten pekar rakt upp och är normalvektor till både linjen och planet.

(2) visar ett propellerflygplan som står på vägen i vägens riktning. Propellerns blad är alltid normaler till vägen. Men det är bara när ett propellerblad pekar rakt upp (eller rakt ner) som det är normal till planet.

Jag fattar fortfarande inte varför jag gör fel :( jag räknade om uppgiften (notera att om jag väljer a = 9, b= 11 så får jag c=3, vilket är korrekt svar )

Ok, du har att (1, –1, –1) är normal till linjen.  
Kan du hitta en vektor  från en punkt på linjen till P?

Visa spoiler

Skriv ditt dolda innehåll här

 

Marilyn skrev:

Ok, du har att (1, –1, –1) är normal till linjen.  
Kan du hitta en vektor  från en punkt på linjen till P?

Ja, genom att välja en punkt på linjen och sedan subtrahera punkten P med den punkten på linjen? Exempelvis punkten (2,-1,-3)

En del säger att man kan hitta två vektorer på planet, ta kryssprpdukten av dem för att hitta en normalvektor (vilket jag är med på) men jag fattar inte varför det inte räcker med en vektor istället för två? För om jag har en vektor på planet så kan jag hitta en normalvektor via godtyckliga värden på a,b,c 

Du skriver

”Ja, genom att välja en punkt på linjen och sedan subtrahera punkten P med den punkten på linjen? Exempelvis punkten (2,-1,-3)”

Precis, det ger (3–2, –4+1, 5+3) = (1, –3, 8) = u som är en vektor mellan två punkter i planet, dvs en vektor i planet.

En normalvektor n till ett plan är en vektor som är vinkelrät mot alla vektorer i planet. Din vektor n = (1, –1, –1), är den vinkelrät mot u?

Marilyn skrev:

Du skriver

”Ja, genom att välja en punkt på linjen och sedan subtrahera punkten P med den punkten på linjen? Exempelvis punkten (2,-1,-3)”

Precis, det ger (3–2, –4+1, 5+3) = (1, –3, 8) = u som är en vektor mellan två punkter i planet, dvs en vektor i planet.

En normalvektor n till ett plan är en vektor som är vinkelrät mot alla vektorer i planet. Din vektor n = (1, –1, –1), är den vinkelrät mot u?

Hmm... nej 😕 n · u är inte lika med 0. Så den metoden funkar alltså inte... Det räcker alltså inte med en vekor på planet för att ta reda på normalen till planet? (via skalärprodukt med den vektorn och <a,b,c> där <a,b,c> är normalvektorn) ?

Hmmm... hur kommer det sig att kryssprodukten da ger en vektor som är orthogonal mot  alla vektorer på planet? Jag tycker att det känns jättekonstigt att min metod inte fungerar, det gör den inte bevisligen, men det känns logiskt att det ska vara så

Haha, bra fråga, hur kommer det sig att kryssprodukten ger en vinkelrät vektor. 

Man kan ju bevisa att det är så.

Låt (a, b, c) x (p, q, r) vara u. Du kollar lätt att skalärprodukten (a, b, c) skalärt u och (p, q, r) skalärt u är 0. Alltså funkar det.

Men hur man ”förstår” att det blir så är en annan fråga.

Om du har en linje som skär ett plan under rät vinkel så är linjen vinkelrät mot alla vektorer i planet. Men det är bara en riktning som är vinkelrät mot planet. Jag försökte visa det med min vackra bild ovan. En stolpe vid en väg har bara en riktning som är normal till marken. Men det finns hur många riktningar som helst som är normaler till vägen. (Det är alla riktningar i det plan som bestäms av propellern.)

Sen bara en sak: din rubrik ”Hitta planet med en given punkt som består utav en given linje”, det är en ganska oklar rubrik. Jag skulle föreslå t ex: ”Hitta det plan som innehåller en given punkt och en given linje”, eller ”Sök det plan som definieras av en punkt och en linje i planet”.

Jag tror ditt tankefel är att du förutsätter att alla vektorer som är vinkelräta mot en vektor i planet bildar normaler. Så är det inte.

När du bildar en normal med hjälp av en kryssprodukt använder du två vektorer i planet, då blir normalen entydigt bestämd eftersom normalen då är vinkelrät mot BÅDA vektorerna samtidigt.

Om du vill använda din lösningsmetod med skalärprodukt kan du ställa upp två ekvationer för två vektorer i planet

$n\cdot u=0$

$n\cdot v=0$

Du kan hitta den andra vektorn genom att helt enkelt bilda en ny vektor mellan två kända punkter i planet. T.ex. punkten du fick av uppgiften samt en punkt på linjen.

D4NIEL skrev:

Jag tror ditt tankefel är att du förutsätter att alla vektorer som är vinkelräta mot en vektor i planet bildar normaler. Så är det inte.

När du bildar en normal med hjälp av en kryssprodukt använder du två vektorer i planet, då blir normalen entydigt bestämd eftersom normalen då är vinkelrät mot BÅDA vektorerna samtidigt.

Om du vill använda din lösningsmetod med skalärprodukt kan du ställa upp två ekvationer för två vektorer i planet

$n\cdot u=0$

$n\cdot v=0$

Du kan hitta den andra vektorn genom att helt enkelt bilda en ny vektor mellan två kända punkter i planet. T.ex. punkten du fick av uppgiften samt en punkt på linjen.

Det är exakt det jag trodde! Jag tycker att det känns logiskt att det är så