Hitta rötterna som är rent imaginära

Vi har endast reella koefficienter (eller om det är heltalskoefficienter satsen säger..). Oavsett så säger en sats att om en rot då är imaginär kommer också dess komplexkonjugat vara en rot. Vi kan alltså sätta $bi$ och $-bi$ till två rötter. Förstår du hur du kan använda dessa för att lösa ekvationen. Det finns några metoder.

MrPotatohead skrev:

Vi har endast reella koefficienter (eller om det är heltalskoefficienter satsen säger..). Oavsett så säger en sats att om en rot då är imaginär kommer också dess komplexkonjugat vara en rot. Vi kan alltså sätta $bi$ och $-bi$ till två rötter. Förstår du hur du kan använda dessa för att lösa ekvationen. Det finns ett några metoder.

Vilken metod hade du rekommenderat? 

Hmm, jag vet inte riktigt. Välj själv mellan att multiplicera $(x-bi)(x+bi)$ och sedan polynomdividera, eller sätt in rötterna direkt i uttrycket och lös för $b$.

Sätt in $z=bi$ (där talet $b$ är reellt) i den givna ekvationen. Då får du:

$b^4 -6 i b^3 - 13 b^2 + 18 ib + 30 = 0$

Man har komplexa tal i ekvationen, så man får helst identifiera realdelarna och imaginärdelarna. Med andra ord är denna ekvation uppfylld om Re(VL)=Re(HL) och samtidigt Im(VL)=Im(HL).

Ekvationen Im(VL)=Im(HL) blir $-6b^3 + 18b = 0$ vilket är ganska enkelt att lösa. Notera dock att du kan få falska rötter och du måste kontrollera att respektive funnen lösning också uppfyller Re(VL)=Re(HL), d.v.s. $b^4 - 13b^2 + 30 = 0$.

På så sätt hittar du två sanna (komplexkonjugerade) lösningar.  Sedan kan du utföra polynomdivision där du dividerar ursprungspolynomet med $[(z-ib)(z+ib)]=(z^2+b^2)$

Med b som belopp för komplexa rötterna kan man ansätta

(z²+b²)(z²+az+c)=z⁴+az³+cz²+bz²+ab²z+b²c = z⁴+6z³+13z²+18z+30.

Av z³-termen ses att a=6, av z-termen ses att ab²=18 d v s b²=3, och ur sista termen ses att b²c=30 d v s c=10.

Så (z²+3)(z²+6z+10)=0 som ger

z_1,2=$\pm \sqrt{3}i$

z_3,4=-3$\pm i$

Som du ser Koizenu finns det olika metoder att köra på.