hitta samband mellan a,b och c

Lisa14500 skrev:

Funktionen y=ax^2 +bx +c har bara ett nollställe. Finn ett samband mellan a,b och c.

Mitt uträkningen :

$$\begin{gathered} a{x}^2+bx+c=0 \\ {x}^{2+\frac{b}{a}}\times a+\frac{c}{a}=0 \\ x=\frac{{\displaystyle \frac{-b}{a}}}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{{\displaystyle \frac{b}{a}}}{2}\right)}^2-\frac{c}{a}} \\ x=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x1=\frac{-b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x2=\frac{-b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ för att få en dubbelrot måste \\ \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} vara lika med 0. Men sambandet i sig ser jag inte \end{gathered}$$

För att din rot ska bli noll så måste täljaren vara noll alltså måste b^2-4ac=0 kommer du vidare då?

det är just där jag fastnar

Vad är det du inte förstår? Förstår du inte varför b²-4ac=0  eller kommer du inte vidare?

Jag kommer inte vidare 

Vart vill du komma vidare? b^2-4ac=0 är det sökta sambandet.

Du kan tänka så här:

Om $a = 0$ så är $y = bx + c$, vilket är en rät linje. För att denna ska ha ett nollställe så finns det begränsningar på vilka värden $b$ kan anta.

Om $a\neq0$ så gäller just det sambandet du har kommit fram till.

Yngve skrev :

Jag inte förstår vad du menar? 

Vilken del förstår du inte?

Hur får man b^2 -4ac att bli 0

Det blir lika med 0 om a, b och c väljs så att sambandet är uppfyllt. Om sambandet är uppfyllt så har funktionen endast ett nollställe.

Exempel 1: Om a = 1 och c = 1 så måste b antingen vara lika med 2 eller -2 för att funktionen endast ska ha ett nollställe efrersom sambandet då är uppfyllt. Funktionsuttrycket blir då antingen $x^2+2x+1$ eller $x^2-2x+1$.

Exempel 2: Om b = 4 och a = 2 så måste c vara lika med 2 för att funktionen endast ska ha ett nollställe efrersom sambandet då är uppfyllt. Funktionsuttrycket blir då $2x^2+4x+2$.

Exempel 3: Om a = 1, b = 1 och c = 1 så är inte sambandet uppfyllt. Motsvarande funktionsuttryck $x^2+x+1$ har inte endast ett nollställe.

Och så vidare.

Kan man säga att det du beskrev ovan är sambandet mellan a,b och c

Nej, det var bara exempel som visar hur sambandet kan användas.

Själva sambandet kan formuleras så här:

• Om $a\neq0$ så måste det gälla att $b^2-4ac = 0$
• Om $a=0$ så måste det gälla att $b\neq0$

Förstår du varför?

nej det gör jag inte.

Vilken av punkterna förstår du inte?

Båda två

Vi tar det från början. Vilken/vilka av följande punkter hänger du inte med på?

1. Vi har en funktion $y=ax^2+bx+c$, där $a$, $b$ och $c$ är konstanter. Du vill ta reda på vad som måste gälla för dessa konstanter för att funktionen ska ha exakt ett nollställe.
2. Funktionens nollställen är de värden på $x$ för vilka funktionens värde är lika med 0, dvs de värden på $x$ som är lösningar till ekvationen $ax^2+bx+c=0$.
3. Om $a=0$ och $b=0$ så är funktionen $y=c$, dvs en konstant funktion. En konstant funktion har antingen oändligt många nollställen (om $c=0$) eller inga nollställen (om $c\neq0$). Alltså får inte både $a$ och $b$ vara lika med 0.
4. Om $a=0$ och $b\neq0$ så är funktionen $y=bx+c$, dvs en icke-konstant linjär funktion. Grafen till en sådan funktion är en icke-horisontell rät linje som skär $x$-axeln på exakt ett ställe, oavsett vilket värde $c$ har.
5. En möjlighet är alltså att $a=0$ och att $b$ kan ha vilket värde som helst utom 0. Konstanten $c$ kan då ha vilket värde som helst.
6. Om istället $a\neq0$ så är funktionen $y=ax^2+bx+c$, dvs en andragradsfunktion.
7. Andragradsfunktionens nollställen ges av lösningsformeln $x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{D}$, där $D=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$ kallas diskriminanten.
8. Om diskriminanten är lika med 0 så sammanfaller lösningarna $x_1$ och $x_2$ med symmetrilinjen $x=-\frac{b}{2a}$ och funktionen har då endast ett nollställe.
9. För att diskriminanten ska vara lika med 0 så måste $b^2-4ac=0$.

Det är steg  3 och 4 som förvirrar mig. Jag inte förstår villkoren du skrev

Lisa14500 skrev:

Det är steg  3 och 4 som förvirrar mig. Jag inte förstår villkoren du skrev

Din funktion är $y=ax^2+bx+c$.

Steg 3: Om både $a$ och $b$ är lika med 0 så blir funktionen $y=0\cdot x^2+0\cdot x+c$, dvs $y=c$. Om du ritar grafen till $y=c$ i ett koordinatsystem så ser du att den är en horisontell linje på höjden $c$ ovan $x$- axeln.

Nu finns det två möjliga alternativ:

1. $c=0$. Då är funktionen $y=0$, vars graf sammanfaller med $x$-axeln. Det innebär att funktionen har nollställen överallt, dvs för alla möjliga värden på $x$. Funktionen har då oändligt många nollställen. Funktionen har då inte endast 1 nollställe och därför är kombinationen $a=b=c=0$ inte tillåten.

2. $c\neq0$. Då har funktionen värdet $c$ överallt, vilket innebär att $y\neq0$ överallt, vilket innebär att funktionen saknar nollställen. Därför är kombinationen $a=b=0$ inte tillåten.

Steg 4: Om $a=0$ och $b\neq0$ så blir funktionen $y=0\cdot x^2+b\cdot x+c$, dvs $y=bx+c$. Denna funktion har ett nollställe där $y=0$, dvs där $bx+c=0$, dvs där $x=-\frac{c}{b}$. Funktionen har då endast ett nollställe, oavsett vilka (tillåtna) värden $b$ och $c$ har.

Blev det klarare då?

x^2 termen ska helt enkelt försvinna för att det bara ska finnas en nollställe 

Nej.

Om $x^2$-termen försvinner, dvs om $a=0$, så måste $b$ vara skilt från 0 för att det endast ska finnas ett nollställe.

Jag föreslår att du ritar några olika linjer i ett koordinatsystem för att övertyga dig om detta. Rita några horisontella (dvs med $b=0$) och några med olika lutning (dvs med $b\neq0$).

Visa dina figurer och berätta om dem.

=========

Om $x^2$-termen finns kvar, dvs om $a\neq0$, så gäller det att $b^2-4ab$ måste vara lika ned 0 för att det endast ska finnas ett nollställe.

Även om detta säkert är lärorikt så kanske vi har fokuserat lite för mycket på fallet $a=0$.

Om det i uppgiften specifikt står att det gäller en andragradsfunktion eller att $a\neq0$ så är denna utvikning kring fallet $a=0$ onödig.

Men om det inte står något om det så tycker jag att det resonemanget behöver föras för att leverera en lösning på A-nivå.

Kan du ladda upp en bild av uppgiften?

Alltså om a= 0 då måste b vara skild från 0 (ej noll) så att grafen ska skära x axeln i en plats ( 1 nollställe)

Lisa14500 skrev:

Alltså om a= 0 då måste b vara skild från 0 (ej noll) så att grafen ska skära x axeln i en plats ( 1 nollställe)

Ja det stämmer. Har du ritat några räta linjer så att du verkligen förstår varför det är så?

För då blir det en första gradsekvation som endast skär grafen vid ett ställe. Om a inte är noll då måste ju c vara skild från 0 så att parabeln inte skär x axeln 

Lisa14500 skrev:

...

Om a inte är noll då måste ju c vara skild från 0 så att parabeln inte skär x axeln 

Nej, det stämmer inte. Du kan till exempel ha $a = 1$, $b = 0$ och $c = 0$. Då blir $y = x^2$, med endast ett nollställe.

räcker det med att svara att om a är 0 så måste b vara skilt från 0?

Det är bara en del av svaret. Kan du ladda upp en bild av uppgiften?

Ja det var skillnad gentemot vad du skrev inledningsvis! Det står uttryckligen att det är en andragradsfunktion.

Det betyder att $a\neq0$ och vi behöver då inte bry oss om fallet $a=0$ alls.

Då är svaret helt enkelt att sambandet $b^2-4ac=0$ måste gälla.

Tänk att ett enda missat ord kan göra sådan skillnad.

Okej, om b^2 -4ac = 0 då blir täljaren 0 . Då blir det en dubbelrot

Det stämmer.