Hitta Sn för talföljder som varken är aritmetiska eller geometriska

Anonym_15 skrev:

Hej, jag undrar om det finns en metod som kan användas för att hitta summan av en talföljd som varken är aritmetisk eller geometrisk? I ma 5 finns några svårare talföljder som är varken eller. Tanken är att man först ska hitta en formel för Sn (summan av samtliga tal i talföljden til ln) och därefter med induktion undersöka om det stämmer för alla heltal n. Den enklare delen är induktionen. Däremot finner jag det svårt att hitta en formel för summan av talen i talföljden. Jag har försökt gissa mig fram men vill snarare ha en långsiktigt metod som fungerar. Jag har läst lite om telescoping. Är det någon som har kunskap och skulle kunna förklara den med exempel? Eller finns det andra metoder? Tack på förhand!

Det finns ingen enkel metod. Tag t.ex.

1+1/4+1/9+1/16+1/25+...

Det är inte svårt att skriva upp formeln, men summa är (mycket) svår att beräkna med gymnasiematematik.

Ett fåtal, till synes, svåra följder kan, som du skriver, skrivas som en teleskopsumma och då är bara första och sista termen relevant. Men det är ingen universell metod för andra serier.

Ok, alltså går det enbart med prövning i matematik 5? Eller fungerar teleskopering för alla sådana talföljder?

Någon hittar med diverse hjälpmedel en summaformel för en serie och lägger ut som en övningsuppgift för andra att lösa, dvs att uppfinna hjulet en gång till. Ligger det något matematiskt värde i detta? Tillför det något?

När man tittar i kurslitteraturen Matematik 5000+, kurs 5, så bör man känna igen aritmetiska och geometriska talföljder och kunna beräkna aritmetiska och geometriska summor. That's it. (Övriga summor får då beräknas med digitala verktyg, eller manuellt genom att addera ihop termerna.)

Teleskoperande summor kan möjligtvis nämnas som kuriosa, men i matematik 5 saknar man matematiskt verktyg (t.ex. partialbråksuppdelning) för att ta reda på att en summa faktiskt är teleskoperande. (Och som Trinity2 redan skrivit, så är det ytterst få summor som är teleskoperande.)

Detta är frågan jag syftar på:

ChatGPT säger följande:

Däremot finns dessa ej på vårat formelblad. Jag använder dessa och det ger rätt svar, men jag skulle själv aldrig kunna lista ut det. Har ni något tips? Ska jag försöka memorera dessa eller finns det en förklaring?

OK, så då är man inte längre i avsnittet om talföljder och deras summor utan i avsnittet om induktionsbevis...

Har du gjort någon av uppgifterna 1532 eller 1535? Med hjälp av dessa (och formeln för aritmetisk summa) kan du nämligen få fram formeln för 1537(a)

När det gäller 1537(b), så vet jag inte hur författarna tänkte. Jag antar (och det är verkligen bara min gissning) att man förväntas känna till värden för aritmetiska summan 1 + 2 + 3 + ... + n för några små värden på n, d.v.s.

• $1$
• $1+2=3$
• $1+2+3=6$
• $1+2+3+4=10$
• $1+2+3+4+5=15$

och när man beräknar motsvarande summor med "upphöjt till 3", så får man $s_1=1$, $s_2=9$, $s_3=36$, $s_4=100$, $s_5=225$, d.v.s. ovanstående talen fast upphöjda till 2.

(Sedan så finns det löst uppgift 1538 där författarna ger dig svaret...)

Det går att bevisa att summan av $n$ första positiva heltalen upphöjda till en heltalsexponent $p$ kommer att vara ett polynom i varibeln $n$ av gradtalet $p+1$, t.ex.

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = a_4 n^4 + a_3 n^3 + a_2 n^2 + a_1 n^1 + a_0$, där koefficienterna $a_0, \cdots a_4$ går att bestämma genom att ställa upp denna likhet för flera utvalda värden på n. Här finns det 5 st okända koefficienter, så det räcker att beräkna summan för 5 st olika värden på n.

n=1 ger:

$VL = 1^3 = 1$

$HL = a_4 1^4 + a_3 1^3 + a_2 1^2 + a_1 1^1 + a_0$

$VL = HL \iff 1 = a_4 + a_3 + a_2 + a_1 + a_0$

n=2 ger:

$VL = 1^3 + 2^3 = 9$

$HL = a_4 2^4 + a_3 2^3 + a_2 2^2 + a_1 2^1 + a_0$

$VL = HL \iff 9 = 16 a_4 + 8 a_3 + 4 a_2 + 2 a_1 + a_0$

o.s.v.

Man får alltså ett linjärt ekvationssystem med de obekanta $a_0, \ldots, a_4$.

Anonym_15 skrev:

Detta är frågan jag syftar på:

 

ChatGPT säger följande:

Däremot finns dessa ej på vårat formelblad. Jag använder dessa och det ger rätt svar, men jag skulle själv aldrig kunna lista ut det. Har ni något tips? Ska jag försöka memorera dessa eller finns det en förklaring?

Dessa är inget man direkt 'gissar', men man kan beräkna dem genom att studera en lämplig teleskopsumma och på så sätt, rekursivt, beräkna dessa, och högre ordning. Det blir snart rätt grisiga räkningar men det går.

Här är det första 10

Det är intressant att notera att alla jämna har en faktor n(n+1)/2 och alla udda en faktor ( n(n+1)/2 )^2.