Hitta sneda asymptoter

Jag har återkommande problem med att hitta sneda asymptoter till rationella funktioner. (Mer specifikt att avgöra m-värdet i funktioner där jag anar att det finns en sned asymptot.)

Då jag söker upp det på internet hittar jag bland annat att man kan 1) Utföra polynomdivision. Detta är dock inget som vi har gått igenom i kursen hittills, så det känns konstigt om det är något som skulle behövas för att lösa uppgifterna i läroboken.

2) Använda sig av följande formler: k = gränsvärdet för f(x)/x då x går mot oändligheten och m = gränsvärdet då f(x)-kx då x går mot oändligheten. Åter igen är dessa formler dock inte något som jag hört talas som tidigare och därmed är jag tveksam till att använda dem.

Ett exempel på en funktion i läroboken där man ska bestämma eventuella asymptoter är f(x)=x² /(3+x). Jag kan se att funktionen har en lodrät asymptot är x=3 och kan ana att det även finns en sned asymptot eftersom att täljarens grad är en grad större än nämnarens. I facit står det att funktionen har asymptoten y=x-3, men hur de kommit fram till m-värdet -3 förstår jag inte. Finns det något generellt tillvägagångsätt jag kan använda mig av i uppgifter som denna?

Det gäller att hitta k och m sådana att f(x) - (kx + m) går mot noll då x går mot plus eller minus oändlighet.

$\frac{x^{2}}{x + 3} - (k x + m) = \frac{x^{2} - (x + 3) (k x + m)}{x + 3} = \frac{(1 - k) x^{2} - (3 k + m) x}{x + 3}$ . För vilka värden på k och m går detta mot noll?

Det lättaste sättet att bestämma är med polynom division men det går att bestämma med hjälp av att bestämma gränsvärdet när x går mot +- oändligheten

Är detta uppgift 2448 från Matematik 5000+, kurs 4?

Båda metoderna som du nämnt, d.v.s. polynomdivision för rationella funktioner, respektive beräkning av k och m via gränsvärden funkar utmärkt. Dessa utgör dock lösningsmetoder som inte gås igenom i kursboken 5000+, vilket du själv noterat. "Standarduppgifterna" i denna bok har bara x eller eventuellt högre potenser av x i nämnaren så att man kan helt enkelt dela upp bråket i flera termer och förkorta varje term för sig, t.ex.

$\dfrac{x^2+2x+4}{2x} = \dfrac{x^2}{2x} + \dfrac{2x}{2x} + \dfrac{4}{2x} = \text{förkorta} = \underbrace{\dfrac12 x + 1}_{\text{sned as.}} + \underbrace{\dfrac{2}{x}}_{\text{försumbart då }x\to\infty}$

Uppgiften 2448 avviker från detta då det är en uppgift på nivå 3 och man förväntar sig hitta på något. Ett möjligt sätt är som PATENTERAMERA föreslagit. Facit i boken föreslår att täljaren "kompletteras" med -9 + 9 så att man därefter kan faktorisera $x^2 - 9$ enligt konjugatregeln och förkorta mot $x+3$ i nämnaren. Denna lösningsmetod är inte alls uppenbar och det kan vara svårt att komma på den om man aldrig sett den. Jag skulle nog gissa att "originella lösningar" hör ihop med uppgifter på nivå 3.

Svara

Visa senaste svar