Hjälp att skissa ellips från ekvationen x^2+xy+y^2=1

Du kan stoppa in några värden på x och räkna fram vilka värden på y det blir, och pricka in det i ett koordinatsystem.

Men detta spelar ingen roll när det gäller att avgöra om det är ett kompakt omräde eller inte. Om du har $x^2+xy+y^2=1$ är det ju bara själva randen av ellipsen. Om du har $x^2+xy+y^2\le 1$ är det ett slutet område och om du har $x^2+xy+y^2<1$ är det ett öppet område.

Du kan vrida koordinatsystemet genom att införa nya koordinater z och t:

x = az+t
y = -z+at

z och t kommer då att vara ortogonala.

Sätter man in detta, och väljer a så att zt-termen försvinner, så får man den vanliga formeln för en ellips. Den kan man skissa i z-t-systemet, och dessutom dra de gamla axlarna x och y.

Jag vet inte om det hjälper att skissa ellipsen för att visa att området är kompakt, men det är en annan sak.

Detta beskriver en ellips som vridits 45 grader mot klockans riktning, se mer nedan. Du behöver inte rita den för att förstå om den är kompakt eller ej. Vad är kriterierna för ett kompakt område?

Fannywi skrev:

Hej!

x^2+y^2=1 är ju enhetscirkeln som jag lätt känner igen. Ekvationen x^2+xy+y^2 =1är tydligen en ellips?

Kan man återföra ekvationen x^2+xy+y^2=1 på standardformen för att kunna skissa den? 

Jag undrar eftersom jag behöver avgöra om mängden x^2+xy+y^2 är ett kompakt område eller ej.  

Ett bra sätt att avgöra om en mängd är sluten eller avgöra om en mängd är öppen är följande sats:

Om funktionen f:$R^n\to R^m$ är kontinuerlig på hela $R^n$ och M$\subset R^m$ så gäller 

M sluten i $R^m$$\Rightarrow$$\{x:R^n: f(x)\in M\}$sluten i $R^n$

(Satsen gäller även för öppna mängder).

I detta fall har du en funktion f:$R^2$→R där f(x)=$x^2+xy+y^2$. Givetvis är f kontinuerlig i hela $R^2$ eftersom det är ett polynom. M={1} är sluten i R. Alltså måste $\{x\in R^2:x^2+xy+y^2=1\}$vara sluten i $R^2$. Att visa att mängden är begränsad borde kunna göras mha tex kvadratkomplettering..