Bevis om absolutbelopp

Hur defineras absolutbelopp? 

Dracaena skrev:

Hur defineras absolutbelopp? 

Avståndet mellan origo och en punkt på ett koordinatsystem 

Ja ett sätt att visa att olikheten gäller är med hjälp av en geometrisk betraktelse på det sättet. Eftersom $|x-x_0|$ är lika med avståndet mellan $x$ och $x_0$ så är $|x-1|$ avståndet mellan $x$ och $1$ och $|x|=|x-0|$ avståndet mellan $x$ och $0$, dvs origo.

Markera nu ett tal $x$ på tallinjen. Vad är avståndet till $1$? Vad är avståndet till $0$? Hur stor är skillnaden i avstånd?

Pröva med ett annat tal $x$. Resonera och sammanfatta.

============

Ett annat sätt är att lösa olikheten algebraiskt.

Då kan du använda att

$|a|=a$ om $a\geq0$

$|a|=-a$ om $a<0$

Dela nu upp problemet i tre delar (intervall), en där $x<0$, en där $0\leq x<1$ och en där $x\geq1$.

För var och en av dessa delar kan du nu formulera om olikheten utan absolutbeloppstecken och därmed få tre enkla olikheter att lösa.

Kontrollera att eventuella lösningar verkligen ligger i respektive intervall och sammanfatta.

===========

Ett tredje sätt är att lösa olikheten grafiskt.

Skriv då olikheten som $|x-1|\leq |x|+1$, rita vänsterledets och högerledets graf i ett koordinatsysten och avläs i vilket/vilka intervall som vänsterledets graf ligger på/under högerledets graf.

Yngve skrev:

Ja ett sätt att visa att olikheten gäller är med hjälp av en geometrisk betraktelse på det sättet. Eftersom $|x-x_0|$ är lika med avståndet mellan $x$ och $x_0$ så är $|x-1|$ avståndet mellan $x$ och $1$ och $|x|=|x-0|$ avståndet mellan $x$ och $0$, dvs origo.

Markera nu ett tal $x$ på tallinjen. Vad är avståndet till $1$? Vad är avståndet till $0$? Hur stor är skillnaden i avstånd?

Pröva med ett annat tal $x$. Resonera och sammanfatta.

============

Ett annat sätt är att lösa olikheten algebraiskt.

Då kan du använda att

$|a|=a$ om $a\geq0$

$|a|=-a$ om $a<0$

Dela nu upp problemet i tre delar (intervall), en där $x<0$, en där $0\leq x<1$ och en där $x\geq1$.

För var och en av dessa delar kan du nu formulera om olikheten utan absolutbeloppstecken och därmed få tre enkla olikheter att lösa.

Kontrollera att eventuella lösningar verkligen ligger i respektive intervall och sammanfatta.

===========

Ett tredje sätt är att lösa olikheten grafiskt.

Skriv då olikheten som $|x-1|\leq |x|+1$, rita vänsterledets och högerledets graf i ett koordinatsysten och avläs i vilket/vilka intervall som vänsterledets graf ligger på/under högerledets graf.

så ser det ut just nu, ser detta bra ut för o vara en lösning? Eller kan man resonera ytterligare (på ett bättre sätt) hur i så fall?

Bra början. Jag har markerat tre fel.

Yngve skrev:

Bra början. Men det är ett par fel.

Kan du visa hur en rätt lösning ska se ut. 

Jag har lagt till en bild som visar felen.

Problemet är att du gör för mycket uträkning i huvudet och för lite på papper. För stora räknesteg helt enkelt.

Gör om med mindre steg så ska du se att det blir rätt.

Yngve skrev:

Jag har lagt till en bild som visar felen.

Problemet är att du gör för mycket uträkning i huvudet och för lite på papper. För stora räknesteg helt enkelt.

Gör om med mindre steg så ska du se att det blir rätt.

Ser detta bättre ut? 

Ja det ser bättre ut.

Nu saknar jag bara resonemang som leder till slutsatser för de tre olikheterna.

Är de uppfylkda eller inte?

Om ja, för vilka värden på x är de uppfyllda?

Speciellt saknar jag en fortsättning på det här:

Yngve skrev:

Ja det ser bättre ut.

Nu saknar jag bara resonemang som leder till slutsatser för de tre olikheterna.

Är de uppfylkda eller inte?

Om ja, för vilka värden på x är de uppfyllda?

Speciellt saknar jag en fortsättning på det här:

Jag kommer inte på något mer. Jag känner mig lite vilse nu. 

kan du visa hur du skulle har löst uppgiften. och hur bra resonemang ska se ut. 

• I intervall 1 är $x<0$. Där lyder olikheten $1\leq1$. Denna olikhet är alltid uppfylld, oavsett vilket värde $x$ har i det aktuella intervallet.
• I intervall 2 är $0\leq x<1$. Där lyder olikheten $1-2x\leq1$, dvs $-2x\leq0$, dvs $x\geq0$. Den olikheten är alltid uppfylld, oavsett vilket värde $x$ har i det aktuella intervallet.
• I intervall 3 är $x\geq1$. Där lyder olikheten $-1\leq1$. Den olilheten är alltid uppfylld, oavsett vilket värde $x$ har i det aktuella intervallet.

Sammanfattningsvis har vi funnit att olikheten $|x-1|-|x|\leq1$ är uppfylld för alla möjliga värden på $x$, vilket var vad vi skulle visa.