Hjälp med en uppgift om exponentiella funktioner

Hej och välkommen till Pluggakuten! Kan du visa hur du har börjat?

I a) kan du till och börja med skriva upp hur funktionen ser ut generellt. Uppgiften säger att funktionen är linjär, alltså är den generella funktionen y=kx+m. I detta fall är antalet exemplar y och antal år efter första provrutan x. Känner du dig förstådd redan här så pröva en egen lösning, annars skriver jag vidare om kommande stegen i lösningen.

Då antalet exemplar är 22, har inget år gått ännu. Detta betyder därmed att x är lika med 0 och y är lika med 22 som ger i funktionen: 22=k*0+m=m. m är alltså lika med 22. Nu är det därmed bara k att ta reda på innan funktionen är komplett.

Just nu ser funktionen ut som följande: y=kx+22

Vi tar nu och kikar på hur det ser ut två år senare, alltså när x = 2. Då ska y = 26 gälla. Sätt nu in värdena i funktionen: 26=k*2+22=2k+22

Subtrahera med 22 på båda sidor för att endast ha kvar 2k till höger. Då blir ekvationen som sådan: 4=2k. 

Dividera med 2 på båda sidor och kvar är att k = 2. Nu är funktionen komplett (y=2x+22) och kvar är bara att beräkna funktionens värde då x=2+8=10:

y=2*10+22=20+22=42, alltså 42 exemplar.

Svar på a) : 42 exemplar

Vidare till b) Den liknar mycket a) uppgiften i strukturen. Först behöver vi skriva upp den generella funktionen, alltså i detta fall den generella exponentialfunktionen y=C*a^x, där de värden som behövs för att få ihop en komplett funktion är C och a i detta fallet. Därefter gäller det att lägga in x-värdet x=10 för att få antal exemplar uppgiften frågar efter.

a^0 är lika med 1 oavsett värde på a, undantagsfall då a=0 men det behöver vi inte gå in på. Hursomhelst, att a^0 = 1 innebär att när x=0, får vi y=C*a^0, alltså y=C*1=C.

Värdet på y såg vi i a) uppgiften att det fanns med i beskrivningen. Med andra ord när det har gått 0 år (x=0), finns 22 exemplar (y=22). Det betyder att C=22 eftersom y=C då x=0 (uträknat ovan). Liksom i a), kan vi nu använda värdena x=2 och y=26 för att beräkna värdet a i funktion:

26=22*a^2. 

Vi vill räkna ut a, därför vill vi också att a ska stå ensamt på ena sidan av likhetstecknet. Därmed, dividera först med 22.

Kvar har vi att 26/22=a^2. Att låta 26/22 stå kvar är ett tips i med att divisionen inte ger ett exakt värde. Nu för att få ut a behöver vi ta roten ur  på båda sidor. Jag vet inte om ni har gått igenom roten ur ännu men det känns som att ni borde ha gjort det om ni får en uppgift som denna. Hursomhelst, vi får då $\sqrt{\frac{26}{22}}$ = a. Detta fick jag reda på inte heller blev ett exakt värde, använd därför det värdet till funktionen istället för det avrundade. 

Den fullständiga exponentiella funktionen blev följande:

y = 22*${\sqrt{\frac{26}{22}}}^x$

Nu, liksom a) uppgiften är det bara kvar att lägga in värdet på x i funktionen, alltså x=10:

y=22*${\sqrt{\frac{26}{22}}}^{10}$$\approx$ 51, ungefär 51 exemplar.

Svar på b) : 51 exemplar

Hoppas förklaringen och lösningen var till hjälp. /Simon