Grace00 36
Postad: 10 mar 2019

Hjälp med induktionsbevis

Hej! Jag har lite svårt för induktionsbevis... 

"Visa med ett induktionsbevis att formeln 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)."

Så här gjorde jag: Steg 1

Sn = n(n+1) , n= 1 ger S1 = 1(1+1) = 2  

 

Steg 2

Antag att n=p 

Sp = 2p = p(p+1) 

 

Steg 3

Visa att n = p+1 

Sp+1 = 2 + 4 + 6 + ... + p(p+1) + p((p+1) + 1) = 2p

Sp+1 = Sp + p((p+1) + 1) = 2p + p((p+1) + 1) = 2p + p(p+2) = p2 + 2p + 2p = p(p + 4)  

 

Som sagt så förstår jag inte induktionsbevis och jag har följt en induktionsbevis från youtube men det leder inte till rätt svar... vart har jag gjort fel? 

Tacksam för svar! 

AlvinB 3031
Postad: 10 mar 2019

Ditt antagande ser lite märkligt ut. Du skall ju inte anta att:

2p=p(p+1)2p=p(p+1)

utan att

2+4+...+2p=p(p+1)2+4+...+2p=p(p+1)

Sedan skall du använda detta antagande för att visa att påståendet stämmer för n=p+1n=p+1, d.v.s.

2+4+...+2p+2(p+1)=(p+1)(p+2)2+4+...+2p+2(p+1)=(p+1)(p+2)

Hänger du med på det?

Har du läst om induktionsbevis i Matteboken.se?

Grace00 36
Postad: 10 mar 2019 Redigerad: 10 mar 2019

Förlåt, borde har skrivit ut 2 + 4 + 6 ... o.s.v 

Jag förstår inte med varför 2 + 4 +... + 2p + 2(p+1) = (p+1)(p+2), det slutade ju med 2 + 4 +...+2p varför lägger man till 2(p+1)? Och hur blev p(p+1) till (p + 1)(p + 2)? 

 

Har jag har läst men jag förstår inte :( 

AlvinB 3031
Postad: 10 mar 2019

Jag visar inte hur du får fram det, jag säger bara vad du skall bevisa. Om du på något sätt kan utgå från:

2+4+...+2p=p(p+1)2+4+...+2p=p(p+1)

och manipulera båda led och till slut komma fram till:

2+4+...+2p+2(p+1)=(p+1)(p+2)2+4+...+2p+2(p+1)=(p+1)(p+2)

så har du bevisat påståendet för n=p+1n=p+1.

Induktionsantagandet är att OM det är så att blablabla gäller när n=p, så gäller blablabla även när n=p+1. Sedan är nästa steg att bevisa blablabla är sant, under förutsättning att induktionsantagandet stämmer.

Albiki 3924
Postad: 10 mar 2019

Låt SnS_n beteckna summan 2+4+6++2n.2+4+6+\cdots+2n.

Steg 1. Visa att S1=1·2S_1 = 1 \cdot 2.

Steg 2. Anta att Sp=p·(p+1).S_p = p\cdot (p+1).

Steg 3. Visa att Sp+1=(p+1)·(p+1+1).S_{p+1} = (p+1) \cdot (p+1+1).

Steg 4. Enligt Induktionsaxiomet är formeln Sn=n(n+1)S_n = n(n+1) sann för alla positiva heltal nn.

Grace00 36
Postad: 10 mar 2019 Redigerad: 10 mar 2019

Sn = 2 + 4 +...+2n = n(n+1) 

Enligt induktionsbasen --> VL = 2 och HL= 1(1+1)=2 då n=1 v.s.v 

Induktionsantagande --> n=p ger 2 + 4+...+2p = p(p+1) 

Induktionssteget --> (n=p+1) 

VLp+1= 2 + 4+...+2p + 2(p+1) = VLp + 2(p+1) 

HLp+1= p(p+1) = (p+1)((p+1)+1) = (p+1)(p+2) 

Är detta rätt? 

Svara Avbryt
Close