Hjälp med sant/falskt om komplexa tal

Jag har en uppgift att lösa följande sant/falskt uppgifter och har nu försökt mitt bästa men lyckas inte komma fram till rätt svar, jag har resonerat såhär om följande av uppgifterna.

A)
Har vi två komplexa tal och dividerar de så använder vi konjugatregeln för att kunna förenkla de. Säg (a+bi)/(c+di) ger oss ((a+bi)*(c-di))/((c+di)(c-di)) = (a+bi)*(c-di) = ac -bdi^2 = ac+bd så falskt, ej ett komplext tal då.

B) Tycker denna frågan är rätt udda, men tänker att vi inte vet vilken modulo vi är i för i^n, men iaf om vi har i^4 så får vi (-1)*(-1) = 1 alltså inte i. men när vi skriver i^4 betyder det ju i^1 då istället enligt modulo 4 vilket get oss i^1=i. lite förvirrad av denna, men tycker nog att sant stämmer.

C) Re(z) = a
Säg z=a/2+bi ger oss konjugat z = a/2-bi och konjugat av z konjugat är a/2+bi = z. alltså (a/2-bi)+(a/2+bi) = a inte ett rationellt tal. så falskt

D) z=a+bi där Im(z) = b så Im(z*konjugat z) = (b*-b)=-b^2 alltså inte = 0, så falskt

E) (z-z0)*(z-konjugat(z0)) = z^2 -(z*z0)-(z*konjugat(z0))+z0*konjugat(z0) vilket get oss z^2+-z(z0*konj(z0))+|z0|^2 = z^2 -2Re(z0)*z + |z0|^2 alltså sant.

Så jag tror B och E är sant, men detta stämmer ej.

Tänk på att ett reellt tal också är komplext. De komplexa talen innefattar både de enbart reella och enbart imaginära talen samt alla tal som både har en imaginär och en reell del.

Pröva att ta potenser av $i$ . Det blir ganska snart uppenbart att de upprepar sig enligt mönstret:

Skriv av uppgiften lite tydligare. Om du menar $\bar{\bar{z}}$ är det ju bara lika med $z$ , och alltså finns det knappast någon poäng med omskrivningen.

Sätt $z=a+bi$ . Då får du:

$\text{Im}(z\cdot \bar{z})=\text{Im}((a+bi)(a-bi))=\text{Im}(a^2+b^2)$

$a^2+b^2$ är ett reellt tal. Vad är imaginärdelen för ett reellt tal?

Det här klarar jag inte att tyda. Skriv antingen latex inom dubbla dollartecken eller använd formelskrivaren (rottecknet i menyn när man skriver inlägg).

A: Vad är $(a + b i) (c - d i)$ ? $(a + b i) (c - d i) = a c - b c i - a d i - b d i^{2} = a c - i (b c + a d) + b d$ . Det blir ett komplext tal. Vad händer om talen är $4 + 6 i$ och $2 + 3 i$ ? Vad blir kvoten för tal?

B: Det finns fyra olika möjligheter när i upphöjs till ett positivt heltal; vi kan få talet i, -1, -i eller 1. Om n är kongruent med ett, modulo fyra, vad betyder det för $i^{n}$ ?

C: Du har gjort rätt, men dragit fel slutsats. a är ett rationellt tal.

Hej okej så om jag tolkar dig rätt nu så är ju då A också sant,

På C) jag jag menar $\bar{\bar{z}}$ , så då är min tolkning rätt att det är falskt eller hur ?

D) Imaginärdelen är ju då 0 menar du ? men jag tänker ju att i Z=a+bi då är ju im(z) = b och inte bi så b har väl fortfarande ett värde men i försvinner eller byts mot ett teckenbyte. Du menar att den är sann antar jag ?

E) $(z - z_{0}) * (z - \bar{z_{0}}) = z^{2} - z (\bar{z_{0}} + z_{0}) + (z_{0} * \bar{z_{0}}) = z^{2} - z (2 R e (z)) + {|z_{0}|}^{2}$ alltså sant, hoppas man kan se detta bättre

C: Nej, det stämmer. Konjugatet till z-konjugat är bara z. Du har räknat helt rätt, men "a" är ett rationellt tal också.

D: Ja, D är sant. Det beror på att de inte ber om imaginärdelen för z, utan de frågar om imaginärdelen hos $I m (z \cdot \bar{z})$ . Titta på AlvinB:s uträkning igen, den är mycket välskriven.

Svara

Visa senaste svar