Holomorf på randen (Matematik/Universitet)

Inte helt säker på att jag förstår vad du undrar, men för att f(z) ska vara analytisk i någon punkt $z_0$ så måste f'(z) existera inte bara i $z_0$ utan i varje punkt i en omgivning runt $z_0$ . Det är svårt att lägga en cirkel runt något på randen utan att en del av cirkeln hamnar utanför randen.

Hej!

En funktion $f : D \to \mathbf{C}$ är holomorf i en punkt $a \in D$ om gränsvärdet

$\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}$

existerar för varje komplext tal $z$ som ligger i en öppen omgivning av punkten $a\ .$

För att objekten $f(z+h)$ ska vara definierade är det viktigt att $z+h$ ligger i definitionsmängden ( $D$ ) till funktionen $f$ för alla komplexa tal $h$ som är "tillräckligt små"; detta villkor är uppfyllt om $z$ ligger i en öppen mängd, men inte om $z$ ligger i en sluten mängd.

Albiki

Så omgivning runt en punkt saknas om punkten är på randen?

Funktionen är holomorf överallt där komplexa derivatan existerar, och för att derivatan ska existera krävs att gränsvärdet

$\lim_{z \to 0} \frac{f (z_{0} + z) - f (z_{0})}{z}$

existerar och är lika oavsett i vilken riktning man närmar sig 0. Ett bra exempel hämtat från wikpedias artikel om holomorfa funktioner är $f = z$ där man får ett gränsvärde

$\lim_{z \to 0} \frac{z - 0}{z - 0} = \lim_{z \to 0} \frac{r \times e^{- i φ}}{r \times e^{i φ}} = e^{- 2 i φ}$

Dessutom inser man att för punkter på randen så kan man inte ta det gränsvärdet i alla riktningar, och då heller inte påstå att det existerar och är lika. Jag vet inte om en modifikation av den definitionen är meningsfull och ger något användbart.

Jag tror att bilden du fått när du läser om en öppen mängd som definitionsmängd är något i stil med "allt på avstånd mindre än 4 från origo", men jag tror att den viktigare biten av definitionen är att man har tagit bort punkterna där funktionen har poler, för där är den inte analytisk. Den komplexa derivatan existerar inte i de punkterna, och funktionen är därför inte holomorf där, men man kan fortfarande ha en öppen omgivning godyckligt nära pol-punkten i vilken den komplexa derivatan är definierad.

Jag förstår bättre nu. Tack.

PeBo skrev :
Funktionen är holomorf överallt där komplexa derivatan existerar,

Mja, nu har du antingen fel eller också har du formulerat dig lite luddigt?

Om u,v (f(z)=u+iv)) och deras första partiella derivator är kontinuerliga i en omgivning till en punkt $z_0$ och CR är uppfyllda i punkten $z_0$ så är det ett nödvändigt och tillräckligt villkor för existensen av $f'(z_0)$ . Varken mer eller mindre.

För att dra två exempel som etsat sig fast i mitt minne (tack Jana Madjarova), funktionen $f(z)=|z|^2$ har en derivata för z=0 och endast z=0.

Funktionen $f(z)=x^2+iy^2$ har en derivata i alla punkter utmed linjen x=y, men när vi undersöker någon punkt $z_0$ på den linjen eller annorstädes upptäcker vi strax att f(z) inte är analytisk i någon punkt någonstans, någonsin.

Jag har säkert fel (och kan ha uttryckt mig luddigt också). Jag lutar mig lite mot 5.1 och 5.2 i (http://www.nhn.ou.edu/~milton/p5013/chap5). Jag tror inte att skillnaden holomorf/analytisk/reguljär är det som är problemet nu, men jag förstår att jag inte förstår dina exempel, och det hänger nog delvis på att jag inte begriper vad CR är. I 5.2 säger man

"Whenever f′(z0) exists, f is said to be analytic (or regular, or holomorphic) at the point z0. "

Jag har gärna fel (eller som jag brukar uttrycka det -- lär mig något), men jag behöver begripa vad CR är, och jag misstänker också att min bild av hur man bestämmer derivatan kan vara fel, eller så är det en skillnad mellan holomorfa och analytiska funktioner som spökar. Jag läser följande ur Wikipedia:

The existence of a complex derivative in a neighborhood is a very strong condition, for it implies that any holomorphic function is actually infinitely differentiable and equal to its own Taylor series (analytic).

Jag undrar om det där är i konflikt med det du säger om att

Guggle skrev :
Om u,v (f(z)=u+iv)) och deras första partiella derivator är kontinuerliga i en omgivning till en punkt $z_0$ och CR är uppfyllda i punkten $z_0$ så är det ett nödvändigt och tillräckligt villkor för existensen av $f'(z_0)$ . Varken mer eller mindre.

Jag begriper att andra exemplet inte har derivata, men hur är det ett exempel som gör att det jag säger är fel? Menar du att den funktionen är analytisk eller holomorf, men att den ändå saknar derivata?

Nånting gör att vi pratar förbi varandra, men jag är säker på att det är du som kan mest om saken, så jag är öppen för en pedagogisk tour-de-force (eller om det blir en putsning på definitioner).

:)

Hej PeBo!

CR står för Cauchy-Riemanns ekvationer, som du förstås är välbekant med eftersom du gett dig in i en diskussion om komplex analys.

Albiki

Det kan hända att vi menar olika saker med deriverbar, differentierbar osv, låt oss börja med CR och analytisk:

CR står för Cauchy-Riemanns ekvationer. När jag pratar om analytisk i detta sammanhang avser jag i överförd bemärkelse definitionen som presenteras på Wolframs hemsida, här: http://mathworld.wolfram.com/ComplexDifferentiable.html

Lägg särskild vikt vid att förstå " If f(z) satisfies the Cauchy-Riemann equations and has continuous first partial derivatives in the neighborhood of z_0, then f'(z_0) exists "

Definitionen innebär att en funktion är analytisk i punkten $z_0$ om f'(z) existerar inte bara i $z_0$ utan överallt i en omgivning till $z_0$ . Det enklaste är att rita en cirkel med nollskild radie runt $z_0$ och försäkra sig om att $f'(z)$ existerar för alla punkter inom cirkeln. Du får göra cirkeln väldigt liten, men radien måste som sagt vara nollskild.

Funktionen $f(z)=|z|^2$ går att derivera i z=0, men funktionen är inte analytisk, varken i z=0 eller någon annan punkt (lämnas som övning)

Låt oss fundera över om $f(z)=x^2+iy^2=u+iv$ är analytisk med ovanstående definition.

CR:

$\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=2y\iff x=y$

$-\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x}=0$

Dvs, om x=y (CR) så är villkoren uppfyllda $\iff$ f(z) är bara differentierbar för de z(=x+iy) som ligger på linjen y=x. Studerar vi en punkt som ligger utanför linjen är CR inte uppfyllt. För att få kalla f(z) analytisk i punkten $z_0$ måste vi kunna dra en cirkel runt $z_0$ som bara innehåller punkter för vilken f'(z) existerar. Detta är inte möjligt eftersom varje sådan cirkel (även cirklar runt punkter på linjen) innehåller punkter där f'(z) inte existerar.

Det är alltså fullt möjligt för en funktion att ha en derivata utmed en hel linje utan att funktionen är analytisk i en enda punkt, varken på linjen eller någon annanstans.

Guggle skrev :
PeBo skrev :
Funktionen är holomorf överallt där komplexa derivatan existerar,
Mja, nu har du antingen fel eller också har du formulerat dig lite luddigt?
[...]
Funktionen $f(z)=x^2+iy^2$ har en derivata i alla punkter utmed linjen x=y, men när vi undersöker någon punkt $z_0$ på den linjen eller annorstädes upptäcker vi strax att f(z) inte är analytisk i någon punkt någonstans, någonsin.

Den där funktionen har väl inte en komplex derivata i alla punkter på den linjen? Det jag säger (som kanske är fel eller luddigt) är att om den komplexa derivatan existerar så är funktionen holomorf.

Jag förstår att derivatan efter linjen kan existera "i linjens riktning", utan att funktionen är komplex deriverbar.

Jag ser inte att CR för en punkt (i kombination med kravet att funktionens reella och komplexa del ska ha kontinuerliga derivator) är något annat än det mer informella och (i mitt tycke intuitiva) kravet att gränsvärdet ska existera oavsett i vilken riktning man närmar sig punkten.

Jag gissar att vi har olika syn på vad det innebär att en funktion "ha[r] en derivata utmed en hel linje", för mig innebär det inte att den komplexa derivatan existerar. Holomorfa funktioner är komplexvärda funktioner av en komplex variabel, och den derivata du pratar om "efter linjen" är också en komplexvärd funktion, men när jag säger "komplex derivata" så menar jag verkligen att man har en funktion för vilken gränsvärdet för $\lim_{z \to 0} \frac{f (z_{0} + z) - f (z_{0})}{z}$ har ett och samma värde oavsett hur z närmar sig 0. Det uppfattar jag som ekvivalent med att Re(f) och Im(f) har kontinuerliga partiella derivator av Re(z) och Im(z) och att CR är uppfyllt.

Givet allt detta (och jag har läst ditt svar) så förstår jag fortfarande inte vad det är som är fel med det jag säger -- kanske är det lite dumt uttryckt eftersom jag säger något som kanske rentav är en tautologi (eller bara en definition) av en holomorf funktion. Men fel...?

Hursomhelst, tack för allt tålamod.

Guggle skrev :
PeBo skrev :
Funktionen är holomorf överallt där komplexa derivatan existerar,
Mja, nu har du antingen fel eller också har du formulerat dig lite luddigt?
Om u,v (f(z)=u+iv)) och deras första partiella derivator är kontinuerliga i en omgivning till en punkt $z_0$ och CR är uppfyllda i punkten $z_0$ så är det ett nödvändigt och tillräckligt villkor för existensen av $f'(z_0)$ . Varken mer eller mindre.
För att dra två exempel som etsat sig fast i mitt minne (tack Jana Madjarova), funktionen $f(z)=|z|^2$ har en derivata för z=0 och endast z=0.
Funktionen $f(z)=x^2+iy^2$ har en derivata i alla punkter utmed linjen x=y, men när vi undersöker någon punkt $z_0$ på den linjen eller annorstädes upptäcker vi strax att f(z) inte är analytisk i någon punkt någonstans, någonsin.

Hej!

Det är roligt att läsa om Janas påverkan. Även jag hade henne som lärare i Linjär algebra, Flervariabelanalys, Fourieranalys, Komplex analys samt i Topologi. Hon är verkligen är ett föredöme.

Att just funktionen $f(z) = |z|^2$ är analytisk i endast punkten $z = 0$ kommer väl av att $f$ är analytisk precis om

$\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0$

och man kan skriva $f(z) = z\overline{z}$ så att

$\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = z$

och detta är lika med 0 precis då $z = 0$ ?

Albiki

Hej!

Funktionen $f(x,y) = x^2+iy^2$ kan skrivas i variablerna $z$ och $\overline{z}$ som

$f(z) = (\frac{z+\overline{z}}{2})^2+i(\frac{z-\overline{z}}{2i})^2\ .$

Från detta ser man att

$\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = \frac{z+\overline{z}}{2} + i\frac{z-\overline{z}}{2}$

och

Error converting from LaTeX to MathML

precis då $x = y$ , eftersom

$x = \frac{z+\overline{z}}{2}$ och $y = \frac{z-\overline{z}}{2i}\ .$

Albiki

Hej!

Det ska stå

$\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0$

precis då $x = y\ .$

Albiki

PeBo skrev :

den derivata du pratar om "efter linjen" är också en komplexvärd funktion, men när jag säger "komplex derivata" så menar jag verkligen att man har en funktion för vilken gränsvärdet för $\lim_{z \to 0} \frac{f (z_{0} + z) - f (z_{0})}{z}$ har ett och samma värde oavsett hur z närmar sig 0. Det uppfattar jag som ekvivalent med att Re(f) och Im(f) har kontinuerliga partiella derivator av Re(z) och Im(z) och att CR är uppfyllt.

Det jag försöker förklara för dig och det jag tror att du missförstått är att vi kan närma oss en punkt $z_0$ på linjen från vilket håll som helst och erhålla samma resultat. Givet den definition du själv lite löst redogör för ovan existerar alltså f'(z) för alla x=y. Trots det finns det inte någon punkt för vilken f(z) är analytisk. Orsaken är att f'(z) måste existera inte bara för $f(z_0)$ men i varje punkt i ett område runt $z_0$ . Det följer av definition av en analytisk funktion.

Det kanske blir lättare om du förklarar hur du ser på f(z)=x²+iy². Är funktionen analytisk? I vilket område, är området öppet eller slutet? Har den någon derivata? Isf i vilka punkter? Vad är derivatan i punkten (5,5)? Spelar det någon roll från vilket håll vi närmar oss (5,5)?

Albiki skrev :
Hej!
Det är roligt att läsa om Janas påverkan. Även jag hade henne som lärare i Linjär algebra, Flervariabelanalys, Fourieranalys, Komplex analys samt i Topologi. Hon är verkligen är ett föredöme.

Ja. Är du också gammal F:are? Jag använder knepet att knacka hårt med kritan mot tavlan för att frammana tystnad :)

Att just funktionen $f(z) = |z|^2$ är analytisk i endast punkten $z = 0$ kommer väl av att $f$ är analytisk precis om
$\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0$

Nej, funktionen är inte analytisk, däremot är den deriverbar för z=0. Annat sätt att visa det:

Låt $u+iv=|z|^2=x^2+y^2$

$\begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=0\\ \frac{\partial u}{\partial y}=2y,\quad \frac{\partial v}{\partial x}=0\end{matrix}$

För att CR ska vara uppfylld ( $\frac{\partial u }{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial v }{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$ )måste

$x=0,\quad y=0$

Detta är uppfyllt för en enda punkt i det komplexa talplanet, origo. f'(z) existerar bara för f'(0). Tänk på att "A function f(z) is said to be analytic at a point z if z is an interior point of some region where f(z) is analytic."

Nu tror jag att jag fattar (stort tack till @Guggle för allt tålamod), och det intressanta är @sexlaxarienslaksax också får ett bättre svar på frågan om varför man vill att en holomorf funktion ska vara definierad på en öppen mängd.

Men först svar på frågan: Nej, funktionen är inte analytisk, men den komplexa derivatan är definierad för alla x/y = 1, och i punkten (5,5) är värdet 10. Jag trodde först att den derivatan inte existerade, men jag räknade igenom den och såg att man får ett uttryck för den som är

$2 \sqrt{x^{2} \cos^{2} (φ) + y^{2} \sin^{2} (φ)} e^{i * (a r c \tan (\frac{y}{x} \tan (φ) - φ))}$ om man närmar sig punkten (x,y) från $r * e^{i φ}$ relativt (x,y), vilket bara lirar för x=y. Det som händer sen är dock mer intressant. Om f' bara är definierad på linjen x=y så kan man inte använda definitionen med gränsvärde för att beräkna (komplexa) andraderivatan, eller enklare uttryckt; högre ordnings komplexa derivator finns inte. Det är därför det är så viktigt att funktionen är definierad på ett öppet intervall -- annars finns det inga garantier för att den går att derivera fler gånger, man kan inte vara säker på att den går att uttrycka med ett taylor-polynom, den är inte analytisk och så vidare.

Det där är väl precis vad @Guggle säger i första svaret, att f'(z) måste existera i en omgivning till $z_{0}$ (annars finns inte högre ordnings derivator).

Det här var en bra dag -- jag lärde mig något.