Homomorfism

Hej

jag har fastnat på följande uppgift och skulle behöva lite hjälp med att lösa den:

Låt $\emptyset : ℤ_{18} \to ℤ_{12}$ vara den homomorfism som uppfyller $\emptyset (1) = 8$

a) Bestäm $k e r \emptyset$ och im $\emptyset$

b) Vilka element finns i var och en av sidoklasserna i $ℤ_{18} / k e r \emptyset$

c) Illustrera den första isomorfisatsen genom att ange en isomorfism $θ : ℤ_{18} / k e r \emptyset \to i m \emptyset$

I a uppgiften har dom fått att svaret ska bli ker $\emptyset = <3>$ samt im $\emptyset = <8>$ men jag är inte med på hur dom kommer fram till det.

Du har ju att $\emptyset(1) = 8$ beskriver homomorfismen fullständigt. Detta eftersom

$\varnothing(n)=\varnothing(1+1+\cdots+1)=\varnothing(1)+\cdots+\varnothing(1)=n\varnothing(1)=8n$

Så bilden av $\emptyset$ är ju alla multipler av $8$ samt att kärnan är lösningarna till

$8n \equiv 0 \text{ (mod 12)}$

Vilket du kan verifiera att det är alla multipler av 3.

okej så därför kan vi säga att im $\emptyset$ blir 8 eftersom vi har $\emptyset (1) = 8$

Då har vi löst a.

I b uppgiften så ska vi få fram vilka element som finns i var och en av sidoklasserna i $ℤ_{18} /$ ker $\emptyset$

Svara