How fast are the pions travelling through the lab?

Du måste använda relativitetsteori här.

t_lab = 13 (m)/v.

t_lab = $\gamma \left(v\right)$t_rest.

PATENTERAMERA skrev:

Du måste använda relativitetsteori här.

t_lab = 13 (m)/v.

t_lab = $\gamma \left(v\right)$t_rest.

Jag förstår inte hur du använder relativitetsteori formlerna här. Jag förstår ej heller vad för formler som du använder? Tidsdilatationen är ju denna men vi behöver reda ut vad som är vad från uppgiften.

Det är formlerna för tidsdilatation. Förloppet tar tiden t_lab sett från labbets referens. Sett från pionens referens så tar förloppet en kortare tid t_rest = 2.6 x 10^-8 s.

Om v visar sig vara större än ljushastigheten så får man ta v = ljushastigheten i stället.

PATENTERAMERA skrev:

Det är formlerna för tidsdilatation. Förloppet tar tiden t_lab sett från labbets referens. Sett från pionens referens så tar förloppet en kortare tid t_rest = 2.6 x 10^-8 s.

Ok. Men hur ska man lösa denna uppgift utan tidsdilatation då?

Laguna skrev:

Om v visar sig vara större än ljushastigheten så får man ta v = ljushastigheten i stället.

Vad menar du? 

Fortsätt med formlerna så får vi se.

Vad får du v till?

Laguna skrev:

Fortsätt med formlerna så får vi se.

Vad får du v till?

jag fick v till 0.856 m/s vilket är rimligt om det ska vara en mindre hastighet än ljusets hastighet i labet. AI föreslog tidsdilatationen samt s=v*t där s är sträckan som pionen färdas och delta t är tiden som uppmäts i labet.

Hur fick du 0,856?

Laguna skrev:

Hur fick du 0,856?

Formeln i #3 och s=v*delta t

Fick samma.

Jag förstår ingenting, men ni verkar ju vara överens.

Laguna skrev:

Jag förstår ingenting, men ni verkar ju vara överens.

Låt oss införa två koordinatsystem, $x$ och $x^\prime$. Att pionen sönderfaller är en händelse med koordinaterna

$x=(t,L,0,0), \quad x^\prime=(\tau,0,0,0)$

Där det primmade systemet rör sig med hastigheten $v$ relativt det oprimmade systemet. Vi boostar det primmade systemet med en Lorentztransformation:

$\displaystyle x^\alpha=\Lambda^\alpha_{\,\,\,\beta} x^{\prime \beta}$

För en rörelse längs $x^1$-axeln får vi alltså

$\begin{pmatrix}t\\L\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\gamma & \gamma v & 0 & 0\\\gamma v & \gamma & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\tau\\0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\gamma \tau \\\gamma \tau v\\0\\0\end{pmatrix}$

 Jämför vi uttrycken för $x^1$-komponenten får vi

$L=v\gamma \tau$

Och med $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$ löser vi ut $v$ i $x^1$- riktningen som:

$\displaystyle v=\frac{L}{\sqrt{L^2+\tau^2}}\approx 0.86$
(med naturliga enheter, $c=1$, så att tid och längd uttrycks i samma enhet.  Med SI blir det $v\approx0.86c$).

D4NIEL skrev:

Laguna skrev:

Jag förstår ingenting, men ni verkar ju vara överens.

Låt oss införa två koordinatsystem, $x$ och $x^\prime$. Att pionen sönderfaller är en händelse med koordinaterna

$x=(t,L,0,0), \quad x^\prime=(\tau,0,0,0)$

Där det primmade systemet rör sig med hastigheten $v$ relativt det oprimmade systemet. Vi boostar det primmade systemet med en Lorentztransformation:

$x^\alpha=\Lambda^\alpha_\beta x^{\prime \beta}$
För en rörelse längs $x^1$-axeln får vi alltså

$\begin{pmatrix}t\\L\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\gamma & \gamma v & 0 & 0\\\gamma v & \gamma & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\tau\\0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\gamma \tau \\\gamma \tau v\\0\\0\end{pmatrix}$

 Jämför vi uttrycken för $x^1$-komponenten får vi

$L=v\gamma \tau$

Och med $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$ löser vi ut $v$ i $x^1$- riktningen som:

$\displaystyle v=\frac{L}{\sqrt{L^2+\tau^2}}\approx 0.86$
(med $c=1$, så att tid och längd uttrycks i samma enhet, i SI blir det $v\approx0.86c$).

Hm jag är inte säker på om vi har gått igenom hur man sätter en lorentz transformation matrix för jag fattar inte hur x och x'  är lika med (t,L,0,0) och (taw,0,0,0)

OK, 0,856 c är en annan sak än 0,856 m/s.

Laguna skrev:

OK, 0,856 c är en annan sak än 0,856 m/s.

Borde svaret vara 0.856 c eller 0.856 ? Det finns inga facit eller lösning till dessa uppgifter.

Pionen rör sig med ungefär 86% av ljusets hastighet, vilket är det korrekta svaret på den här uppgiften.

Det är inte tillräckligt snabbt för att approximera $v$ med $c$ och låta $t=L/c$ (tycker jag).

På något vis måste man jämföra koordinaten i rörelseriktningen mellan de två referensramarna för att komma någonstans med den här uppgiften. Om ni inte har gått igenom hur man räknar med tensorer kanske ni ändå har Lorentztransformationen given på något annat sätt.

Du kan till exempel använda förhållandet Patenteramera ger dig i #2.

D4NIEL skrev:

Pionen rör sig med ungefär 86% av ljusets hastighet, vilket är det korrekta svaret på den här uppgiften.

Det är inte tillräckligt snabbt för att approximera $v$ med $c$ och låta $t=L/c$ (tycker jag).

På något vis måste man jämföra koordinaten i rörelseriktningen mellan de två referensramarna för att komma någonstans med den här uppgiften. Om ni inte har gått igenom hur man räknar med tensorer kanske ni ändå har Lorentztransformationen given på något annat sätt.

men frågan är hur snabbt den rör sig och då är det hastigheten som frågas efter. Varför ska man svara som 0.856c?

Du får gärna räkna ut det i meter per sekund om du vill, då blir det $258 000 000\,\mathrm{m/s}$. Men det blir lite tradigt i längden att skriva ut och räkna med alla nollor och det är lätt att göra slarvfel.

Därför kan det vara enklare att bara skriva $0.86c$, men det betyder ju exakt samma sak.

För mig känns det dessutom lättare att föra resonemang kring något som är 86% av ljushastigheten än att prata om 258 000 000 meter per sekund, jag måste ändå översätta det till andelar av ljushastigheten i huvudet.

Jag skulle också rekommendera dig att använda naturliga enheter med $c=1$ om ni har gått igenom det. Då slipper du $c$ helt och hållet i formler och beräkningar, detta är särskilt viktigt om man inte har tillgång till miniräknare eller dator (till exempel på en tenta).

D4NIEL skrev:

Pionen rör sig med ungefär 86% av ljusets hastighet, vilket är det korrekta svaret på den här uppgiften.

Det är inte tillräckligt snabbt för att approximera $v$ med $c$ och låta $t=L/c$ (tycker jag).

På något vis måste man jämföra koordinaten i rörelseriktningen mellan de två referensramarna för att komma någonstans med den här uppgiften. Om ni inte har gått igenom hur man räknar med tensorer kanske ni ändå har Lorentztransformationen given på något annat sätt.

Du kan till exempel använda förhållandet Patenteramera ger dig i #2.

Här är genomgång av lorentztransformationen från föreläsningsanteckningar i modern fysik kursen:

Ja, där kan du använda ekvation 41.

Pionen sönderfaller vid $x^\prime =0,\, t^\prime = \tau$ i det primmade systemet och vid $x=L$ i det oprimmade systemet.

Tiden $\tau$ och sträckan $L$ ges i uppgiftstexten.