HP nog uppgift (Matematik/Högskoleprovet)

Om priset är p nu så är priset om 5 år (1,2)⁵p.

Vi kan nu använda binomialteoremet.

(1 + 0,2)⁵ = $\sum_{k = 0}^{5} (\begin{matrix} 5 \\ k \end{matrix}) {(0, 2)}^{k} = 1 + 5 \cdot 0, 2 + \dots = 1 + 1 + \dots > 2$ .

Så efter 5 år har priset mer än fördubblats.

HP = Ma2 max. så vi måste finna en enklare väg än binomialteoremet (vilket är en snygg lösning, kanske det ingår i Ma2. Har dålig koll på kursinnehållet).

Vi har att

1.2^2 = 1.44 (huvudräkning)

1.2^4 = 1.44^2 > 1.41421...^2 = sqrt(2)^2=2

1.2^5 = 1.2*1.2^4 > 1.2*2 > 2 (behövs ej beräknas, det är 20% mer än 2 och det räcker att veta det)

Tipsar också om "72-regeln":

Dividera 72 med årliga räntan i procent, så får du det ungefärliga antalet år tills beloppet fördubblats.

I det här fallet:

$\frac{72}{20} = 3, 6$

Så det tar alltså ungefär 3,6 år.

Nu behöver man ju inte ens räkna ut 3,6. Det räcker med att se att 72/20 blir mindre än 5.

Har inte sett den här läras ut i gymnasiet, men kostar inte så mycket att ha i huvudet.

Varför 72? Ja, det kan jag lämna som en uppgift för den intresserade som kan lite logaritmer. Egentligen borde det vara "69,3-regeln", men det är ju så mycket lättare att dividera 72 med en massa tal.

sictransit skrev:
Tipsar också om "72-regeln":

Dividera 72 med årliga räntan i procent, så får du det ungefärliga antalet år tills beloppet fördubblats.

I det här fallet:

$\frac{72}{20} = 3, 6$

Så det tar alltså ungefär 3,6 år.

Nu behöver man ju inte ens räkna ut 3,6. Det räcker med att se att 72/20 blir mindre än 5.

Har inte sett den här läras ut i gymnasiet, men kostar inte så mycket att ha i huvudet.

Varför 72? Ja, det kan jag lämna som en uppgift för den intresserade som kan lite logaritmer. Egentligen borde det vara "69,3-regeln", men det är ju så mycket lättare att dividera 72 med en massa tal.

Jag visade min äldsta dotter nyss, så postar någon form av härledning här också:

Visa spoiler

Eftersom det inte står att prisökningen får eller inte får delas upp över varje år så behöver vi kontrollera om fördubblingen kan ske på 4 år eller mindre. Det hjälper således inte om fördubblingsgränsen korsas den andra januari (om vi delar upp prisökningen på varje dag) femte året eller om det är enormt mycket mer än dubbla priset vid nyårsafton.

Om fallet vore att omkörningen skedde under år 5 hade det blivit ramaskri och uppgiften hade antagligen strukits, för den är för otydligt beskriven och man skulle kunna hävda att allt utom A är rätt: B om gradvis ökning tillåts, C om det inte gör det, och D för att den relevanta informationen om gradvis ökning utelämnats. Det sista skulle man kunna säga är mest rätt, men det är inte den här typen av fällor som UHR avsiktligt lägger.

Frågan är då: Är 1.2^4 > 2? Här tänker jag då:

$1 . 2^{4} = {(1 . 2^{2})}^{2} 12^{2} = 144 \Leftrightarrow 1 . 2^{2} = 1.44 \sqrt{2} \approx 1.41 1.44 > 1.41 \Leftrightarrow 1 . 44^{2} > 2$

Jag skulle nog tänka såhär, för att försöka få fram ett svar på rätt kort tid:

Om priset ökar med 20% av originalpriset (dvs. ökar med samma mängd per år, så ingen ränta-på-ränta-effekt), då skulle det ta 100%/20% = 5 år för priset att dubblas. Men! Vi vet att prisökningen utgår ifrån föregående års pris, inte utifrån originalpriset. Förra årets ökning kommer alltså att påverka det nuvarande årets ökning, eftersom att vi får en ränta-på-ränta-effekt. Hur liten eller stor den än är, är den större än noll, och därför går det fortare än fem år. :)

Vad var svaret? Uppgiften anger inte om det är en ökning från föregående år eller från ursprungsåret. De flesta tänker nog på föregående år, men det är inte säkert utifrån formuleringen.

Trinity2 skrev:
Vad var svaret? Uppgiften anger inte om det är en ökning från föregående år eller från ursprungsåret. De flesta tänker nog på föregående år, men det är inte säkert utifrån formuleringen.

Uppgiften är från VT 2024, provpass 5. Vanligtvis skulle jag kunna besvara din fråga, men jag är just nu utsatt för en digital konspiration.

Du kan hitta svaren på studera.nu, men notera att Kaspersky ger mig certifikatsvarning för den sidan just nu (del 1 av 5 i konspirationen), så jag går inte vidare med det.

Jag tvivlar dock inte på att svaret är B.

thedifference skrev:
Trinity2 skrev:
Vad var svaret? Uppgiften anger inte om det är en ökning från föregående år eller från ursprungsåret. De flesta tänker nog på föregående år, men det är inte säkert utifrån formuleringen.

Uppgiften är från VT 2024, provpass 5. Vanligtvis skulle jag kunna besvara din fråga, men jag är just nu utsatt för en digital konspiration.

Du kan hitta svaren på studera.nu, men notera att Kaspersky ger mig certifikatsvarning för den sidan just nu (del 1 av 5 i konspirationen), så jag går inte vidare med det.

Jag tvivlar dock inte på att svaret är B.

#22, Svar: B.

Vårt eget (Mattecentrums) lösningsförslag säger också B.

Smutstvätt skrev:
Jag skulle nog tänka såhär, för att försöka få fram ett svar på rätt kort tid:

Om priset ökar med 20% av originalpriset (dvs. ökar med samma mängd per år, så ingen ränta-på-ränta-effekt), då skulle det ta 100%/20% = 5 år för priset att dubblas. Men! Vi vet att prisökningen utgår ifrån föregående års pris, inte utifrån originalpriset. Förra årets ökning kommer alltså att påverka det nuvarande årets ökning, eftersom att vi får en ränta-på-ränta-effekt. Hur liten eller stor den än är, är den större än noll, och därför går det fortare än fem år. :)

Såhär tänkte jag också. Provet går ju på tid, man har ingen miniräknare (väl?), och uppgiften frågar ju bara om vilken kvantitet som är störst, inte exakt hur stora de är. Med den här lösningen behövs inga räkningar (förutom att konvertera 20 % till 1/5, typ) utan bara ett snabbt resonemang :)

Ska man vara petnoga står det ju dock inte om varan kostade mer än 0 kr, så då kanske D skulle vara rätt (man saknar information om priset) :)

EDIT: nej förrrsten, det står ju att priset ökar 20 %, det skulle det ju inte kunna stå om priset var 0. Mitt fel att jag ville vara lite kul… :(

Det är alltid en vågskål över vad man ska göra i HP. Räkna eller resonera. Ibland är de snälla nog att lägga det korrekta svaret först om man vill prova givna värden.

Inget fel med lösningen, men det går snabbare att (t.ex.) säga att x-4 måste vara delbart med 5, och därmed är -11 svaret.

Man kan även snabbt utesluta C och D för att med dessa blir VL negativt men HL positivt. Då behöver man bara prova A eller B för komma fram till svaret.

Trinity2 skrev:
Vad var svaret? Uppgiften anger inte om det är en ökning från föregående år eller från ursprungsåret. De flesta tänker nog på föregående år, men det är inte säkert utifrån formuleringen.

Jag skulle nog utgå ifrån att det var priset från föregående år. Annars skulle ju inte priset stiga med 20% per år, utan ”motsvarande 20% av originalpriset”. Men en tydligare formulering skulle inte skadat.

@Hondel: nej, man får inte ha miniräknare på provet. Och man har en dryg minut per fråga på NOG. :)

Smutstvätt skrev:
@Hondel: nej, man får inte ha miniräknare på provet. Och man har en dryg minut per fråga på NOG. :)

Det här är inte ens NOG för den delen. Det är KVA.

Sorry, skrev för snabbt. Men det jag skrev stämmer - de rekommenderar ungefär en minut per uppgift för KVA (och cirka 1,5 för NOG). 😅

Smutstvätt skrev:
Sorry, skrev för snabbt. Men det jag skrev stämmer - de rekommenderar ungefär en minut per uppgift för KVA (och cirka 1,5 för NOG). 😅

Jag hade fått 0.1. Matematik skall, som fina viner, intas långsamt och under kontemplation, IMO.

Du får väga upp med ett bra resultat på den verbala delen. :)

Smutstvätt skrev:
Du får väga upp med ett bra resultat på den verbala delen. :)

Jag får omskola mig till författare.