HP nog uppgift

Om priset är p nu så är priset om 5 år (1,2)⁵p.

Vi kan nu använda binomialteoremet.

(1 + 0,2)⁵ = $\sum _{k=0}^5\left(\begin{array}{c}5\\ k\end{array}\right){\left(0,2\right)}^k=1+5·0,2+\dots =1+1+\dots >2$.

Så efter 5 år har priset mer än fördubblats.

HP = Ma2 max. så vi måste finna en enklare väg än binomialteoremet (vilket är en snygg lösning, kanske det ingår i Ma2. Har dålig koll på kursinnehållet).

Vi har att

1.2^2 = 1.44 (huvudräkning)

1.2^4 = 1.44^2 > 1.41421...^2 = sqrt(2)^2=2

1.2^5 = 1.2*1.2^4 > 1.2*2 > 2 (behövs ej beräknas, det är 20% mer än 2 och det räcker att veta det)

Tipsar också om "72-regeln": 

Dividera 72 med årliga räntan i procent, så får du det ungefärliga antalet år tills beloppet fördubblats.

I det här fallet:

$\frac{72}{20}=3,6$

Så det tar alltså ungefär 3,6 år.

Nu behöver man ju inte ens räkna ut 3,6. Det räcker med att se att 72/20 blir mindre än 5.

Har inte sett den här läras ut i gymnasiet, men kostar inte så mycket att ha i huvudet.

Varför 72? Ja, det kan jag lämna som en uppgift för den intresserade som kan lite logaritmer. Egentligen borde det vara "69,3-regeln", men det är ju så mycket lättare att dividera 72 med en massa tal.

sictransit skrev:

Tipsar också om "72-regeln": 

Dividera 72 med årliga räntan i procent, så får du det ungefärliga antalet år tills beloppet fördubblats.

I det här fallet:

$\frac{72}{20}=3,6$

Så det tar alltså ungefär 3,6 år.

Nu behöver man ju inte ens räkna ut 3,6. Det räcker med att se att 72/20 blir mindre än 5.

Har inte sett den här läras ut i gymnasiet, men kostar inte så mycket att ha i huvudet.

---

Varför 72? Ja, det kan jag lämna som en uppgift för den intresserade som kan lite logaritmer. Egentligen borde det vara "69,3-regeln", men det är ju så mycket lättare att dividera 72 med en massa tal.

Jag visade min äldsta dotter nyss, så postar någon form av härledning här också:

Eftersom det inte står att prisökningen får eller inte får delas upp över varje år så behöver vi kontrollera om fördubblingen kan ske på 4 år eller mindre. Det hjälper således inte om fördubblingsgränsen korsas den andra januari (om vi delar upp prisökningen på varje dag) femte året eller om det är enormt mycket mer än dubbla priset vid nyårsafton.

Om fallet vore att omkörningen skedde under år 5 hade det blivit ramaskri och uppgiften hade antagligen strukits, för den är för otydligt beskriven och man skulle kunna hävda att allt utom A är rätt: B om gradvis ökning tillåts, C om det inte gör det, och D för att den relevanta informationen om gradvis ökning utelämnats. Det sista skulle man kunna säga är mest rätt, men det är inte den här typen av fällor som UHR avsiktligt lägger.

Frågan är då: Är 1.2^4 > 2? Här tänker jag då:

$$\begin{gathered} 1.2^4={(1.2^2)}^2 \\ {12}^2=144\iff 1.2^2=1.44 \\ \sqrt{2}\approx 1.41 \\ 1.44>1.41\iff 1.{44}^2>2 \end{gathered}$$

Jag skulle nog tänka såhär, för att få fram ett svar på rätt kort tid: 

Om priset ökar med 20% av originalpriset (dvs. ökar med samma mängd per år, så ingen ränta-på-ränta-effekt), då skulle det ta 100%/20% = 5 år för priset att dubblas. Men! Vi vet att prisökningen utgår ifrån föregående års pris, inte utifrån originalpriset. Förra årets ökning kommer alltså att påverka det nuvarande årets ökning, eftersom att vi får en ränta-på-ränta-effekt. Hur liten eller stor den än är, är den större än noll, och därför går det fortare än fem år. :)