Hur bestämmer man en grafs komplexa rötter?

Tänk dig en andragradskurva på formen $f\left(x\right)= a{x}^2+bx+c$. Din konstant c flyttar kurvan i y-led. Du kan finna ett uttryck för en andragradskurva 4 steg ner i y-led (i dina fall). Sedan lägger du till konstanten 4 till ditt uttryck och försöker lösa $f\left(x\right)=0$. Då bör du hitta komplexa rötter :)

Ett andragradspolynom kan generellt tas fram via:
$f\left(x\right) = k(x-ro{t}_1)(x-ro{t}_2), k är en konstant$

Du vet att f(x) är en andragradsfunktion.

I det här fallet är det praktiskt att skriva funktionsuttrycket på kvadratkompletterad form f(x) = k(x-a)²+b.

Koordinaterna för grafens minimipunkt ger dig nu direkt värdena på a och b.

Du kan bestämma k med hjälp av koordinaterna på en godtycklig annan punkt på grafen.

För att hitta (de komplexa) rötterna löser du sedan ekvationen f(x) = 0, dvs k(x-a)²+b = 0 

Precis:

$x=a\pm \sqrt{\frac{-b}{k}}=a\pm i\cdot\sqrt{\frac{b}{k}}$

För att tydliggöra tomast80-s slutsats löser jag ekvationen $k{(x-a)}^2+b$ =0 med pq-formeln

$$\begin{gathered} k(x^2-2ax+a^2)+b=0 \\ {x}^2-2ax+a^2+\frac{b}{k}=0 \\ x=a\pm \sqrt{a^2-(a^2+\frac{b}{k})}=a+\sqrt{-\frac{b}{k}}=a\pm i·\sqrt{\frac{b}{k}} \end{gathered}$$

Det som är bra med att ha funktionsuttrycket på kvadratkompletterad form är att pq-formeln då inte behövs. Det blir lite som att gå över ån efter vatten.

Istället:

$k(x-a)^2+b = 0$

$k(x-a)^2 = -b$

$(x-a)^2=-\frac{b}{k}$

$x-a=\pm\sqrt{-\frac{b}{k}}$

$x=a\pm\sqrt{-\frac{b}{k}}$