Hur börjar man ens på detta initialvärdesproblemet?

Sykey skrev:

$y\text{'}\text{'}\left(x\right)+3y\text{'}\left(x\right)+2y\left(x\right)=\frac{1}{1+e^x}$

y(0)=y'(0)=0

Vi kan också använda $\int \ln x dx =\hspace{0.17em}x\left(\ln \right(x) - 1) +C$

Jag tänker liksom högerledet är inte ett polynom men vi kanske kan få den på formen 

h(x) =  $\left(\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{e^x}}+1}\right)e^{-x} = g\left(x\right)e^{\alpha x}$

Den andra idéen är partial bråksuppdelning som jag har ingen aning hur man gör eller använder.

Den tredje idéen är kanske att använda den givna integralen faktiskt om man integrerar båda leden 

Jag vet inte om du läser kursen differentialekvationer och transformmetoder eller typ bara differentialekvationer I på uni. Men om du har lärt dig variation av parametrar med wronskianen. Denna metod skulle kunna användas för att lösa detta problem med IVP. Börja med att hitta den homogena lösningen till diffekvationen och sen lösa för den partikulära delen mha variation av parametrar metoden. 

En fjärde idé: skriv högerledet som en oändlig serie.

Känner du till metoden av variation av konstanter/parametrar (wiki)? Den kan användas för inhomogena ekvationer, där högerledet inte har den speciella formen av ett polynom eller en exponentialfunktion.

jag prövade h(x) = g(x)$e^{\alpha x}$metoden men kom fram till ett g(x) som jag inte visste hur man gjorde ansats på... tills jag substituerade H.L med t. 

Så jag fick enligt karakteriserande polynom ($r^2+3r+2=0\iff r_1=-2, r_2=-1$). Notera att de är olika r. Då fick vi den homogena lösningen:

$y_h=C_1{e}^{-2x}+C_2{e}^{-x}$

Identifikation; Nu eftersom vi skrev den på denna formen h(x) = g(x)e^αx så säger vi att

y=$z{e}^{\alpha x}$, z=z(x)

alltså en obekant så vi kunde få dess derivator (jag insåg att det var därför vi kallade z obekant):

y' = (z'-z)e^-x

y''=(z''-2z'+z)e^-x. 

Substituera in i den givna original ekvationen och vi får efter förenkling:

z''+z' = $\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{e^x}}+1}$  

Detta är efter vi strök e^-x i beräkningarna. Nu här var jag fast så jag tänkte variabelbyte i högerled, jag venne om man får men jag gjorde det, så jag kallade det för t.

z''+z'=t                         (*)

Nu kan vi göra en ansats (som jag inte är helt säker på hur man gör men jag gjorde denna för en lärobok gjorde så):

z=t(At+B)=A$t^2$ + Bt.        (**)

Nu deriverar vi igen för att få z' och z'' som vi sedan kan sätta in i (*).

z'=2At + B

z''=2A

Som ger oss ett ekvationssystem:

2A+ B = 0,    2A = 1 $\iff A=1/2 , B=-1$

Sätt in i våran ansats (**):

z=$\frac{t^2}{2}-t$

Nu när vi har löst z så sätter vi in i våran partikulärlösning i identifikationssteget:

$y_p=(\frac{t^2}{2}-t)e^{-x}$

Okej det kanske ser lite konstigt ut med två olika obekanta variabler men vi återsubstituerar för vad t var och för att få hela lösningen addera med den homogena lösningen y=$y_h+y_p$:

y=$C_1{e}^{-2x}+C_2{e}^{-x}+\left(\right(\frac{1}{2{({\displaystyle \frac{1}{e^x}}+1)}^2})-\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{e^x}}+1})e^{-x}$

NU kan vi sätta in initialvärdena: 

Vi får att $C_1+C_2=\frac{3}{8}$

Men nu har jag problem att finna derivatan y'. Liksom jag vill substituera med t igen och liksom derivera med avseende på två olika variabler samtidigt men jag vet inte hur man gör, är det detta som kallas partiell integration? När jag försökte derivera så insåg jag att vi behöver kunna kvotregeln, ty partikulärlösningen. Den var också ganska jobbig och jag visste inte om det skulle funka och jag tror inte heller det är rätt sätt, det tog för långt tid liksom när jag skulle derivera men jag fick då att den andra delen av ekvationssystemet blev:

$-2C_1-C_1=0$

Då fick jag att integralkonstanterna blev:

$C_1=-\frac{3}{8}, C_2=\frac{3}{4}$

Och ja, då har vi en lösning i alla fall nu. 

Tror ni detta kan stämma? Jag läste vad ni alla skrev, jag tror inte I.F funkar på denna eftersom det är andra ordningens men jag vet inte. Jag vet inte hur man skriver om till oändlig serie, måste jag inte veta vad e är då för det är ju själv en serie, idk. Jag har inte kommit så långt än så parametrar har vi ännu inte prövat eller gått igenom... tror jag. Jag förstår inte hur jag skulle använde den där givna integralen, jag drar ingen som helst koppling.