Hur fungerar egentligen Dirichlets test för konvergens?

Vad menar du ska spela rollen för $a_k$ respektive $b_k$ när du tillämpar Dirichlets test på serie (B)?

1, Om cos k  resp cos(1/k) ska spela rollen av b_n i Dirichlet, så är det Delsummorna som ska vara begränsade (absolut) enl kraven. Det räcker inte med att termerna är det.

2. Det bör påpekas att 1/sqrt(k) inte bara går mot 0 utan också att den gör det monotont.

Vidare är har vi, som du skriver, att cos(1/k)-->1  och  1/sqrt(k)-->0.  Men då beter de väl sig inte lika för stora k?

Om någon ska begripa sig på problemet måste du nog först besvara frågan från Oggih.

Okej, verkar finnas en hel del missförstånd från min sida här. 

oggih skrev:

Vad menar du ska spela rollen för $a_k$ respektive $b_k$ när du tillämpar Dirichlets test på serie (B)?

Tänkte att $a_k$ är $1/\sqrt{k}$ och att $b_k$ är $cos(1/k)$.

Här har vi problemet tror jag:

Om cos k  resp cos(1/k) ska spela rollen av b_n i Dirichlet, så är det Delsummorna som ska vara begränsade (absolut) enl kraven. Det räcker inte med att termerna är det.

Jag har alltid tänkt att det är termerna som är begränsade. Exempelvis $sin(k)$ och $cos(1/k)$ av $\leq 1$, men det betyder givetvis inte att att summan av dessa termer är det. Att sin(k) är begränsad antar jag beror på att positiva och negativa termer tar ut varandra? Precis som (-1)^k. 

Vidare är har vi, som du skriver, att cos(1/k)-->1  och  1/sqrt(k)-->0.  Men då beter de väl sig inte lika för stora k?

Det var nog inte helt korrekt uttryckt nej. Men man kan förmodligen uppskatta det så antar jag?

MrPotatohead skrev:

Att sin(k) är begränsad antar jag beror på att positiva och negativa termer tar ut varandra? Precis som (-1)^k.

Exakt! En bra övning skulle kunna vara att visa att cos(k) ger delsummor med begränsad storlek, och därifrån dra slutsatsen att serie (A) konvergerar.

Och jag tycker ditt resonemang för varför (B) är divergent låter sunt. Du skulle kunna göra det precist genom att hänvisa till det här gränsjämförelsetestet (eller vad det nu heter på svenska?):

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Limit_comparison_test

Ja, det går ju väldigt fint och fort när man jämför med 1/sqrt(k). Det är den metoden jag använt mest. Tack för hjälpen. Det är läskigt när man råkat få med sig sådana grundläggande missförstånd från början och  byggt sin förståelse runt det.

Det händer hela tiden när man håller på med matematik! Så en lagom dos tvivel på sig själv och sin matematiska världsbild är bra att hela tiden ha med sig! 🙂