Hur går satserna ihop med detta påstående ang. potentialer?

Om potentialfunktionen är $U$ så är $P=\frac{\partial U}{\partial x}$ och $Q=\frac{\partial U}{\partial y}$

Och om vi nu ska derivera $P$ och $Q$ för att se att de är lika måste det alltså gå att derivera potentialfunktionen $U$ hur många gånger då? :) Och vad betyder kontinuerliga deformationer? Alltså måste $U$ vara...

Jroth skrev:

Om potentialfunktionen är $U$ så är $P=\frac{\partial U}{\partial x}$ och $Q=\frac{\partial U}{\partial y}$

Och om vi nu ska derivera $P$ och $Q$ för att se att de är lika måste det alltså gå att derivera potentialfunktionen $U$ hur många gånger då? :) Och vad betyder kontinuerliga deformationer? Alltså måste $U$ vara...

Hej Jroth! Tack så mycket för svaret!

Jag håller med dig och du har nog helt rätt, men jag har lite svårt att följa med hur du tänker?

Om potentialfunktionen är $U$ så är $P=P=\frac{\partial U}{\partial x}$ och $Q=\frac{\partial U}{\partial y}$
Japp, det är jag med på.

Och om vi nu ska derivera $P$ och $Q$ för att se att de är lika måste det alltså gå att derivera potentialfunktionen $U$ hur många gånger då? :) Och vad betyder kontinuerliga deformationer? Alltså måste $U$ vara...
Här blir jag lite osäker på vad du menar, jag antar att du menar att man borde kunna derivera potentialfunktionen totalt två gånger, men om man ska kunna derivera U två gånger då antar man ju att U är av C^2?

Jag tror att du försöker leda mig till att U ska vara av C^1, men jag kan inte riktigt komma dit?

Eller så menar du att man inte behöver göra antagandet att U är av C^2 eftersom det redan görs i påståendet?

Som du ser så går jag runt lite blint :(

Hej,

Låt $\gamma$ vara enkla kurvor som sammanbinder två fixerade punkter i planet.

Du vill visa att om funktionen $\gamma \mapsto I(\gamma)$ är konstant så följer det att $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$.

    $\displaystyle I\left(\gamma\right) = \oint_{\gamma} P\,dx+Q\,dy$

Låt $\gamma_1$ och $\gamma_2$ vara två olika orienterade kurvor som båda förbinder samma två fixerade punkter A och B i planet; kurvan $\gamma_1$ startar i punkten A och slutar i punkten B, medan kurvan $-\gamma_2$ startar i punkten B och slutar i punkten A. Tillsammans bildar $\gamma_1 + (-\gamma_2)$ en enkel sluten kurva som börjar i A och slutar i A.

    $\displaystyle\oint_{\gamma_1+\left(-\gamma_2\right)} = \oint_{\gamma_1} + \oint_{-\gamma_2} = \oint_{\gamma_1}-\oint_{\gamma_2} = I\left(\gamma_1\right) - I\left(\gamma_2\right).$

Om funktionen $I(\gamma)$ är konstant så ser du att

    $\displaystyle\oint_{\Gamma}P\,dx+Q\,dy = 0$

för varje enkel sluten kurva $\Gamma$ i planet. Vad har Greens teorem att säga om detta? Här är det viktigt att notera att kurvintegralen är noll för varje enkel sluten kurva, med betoning på "varje". Kurvan kan vara "stor" eller "liten" det spelar ingen roll: kurvintegralen är noll.

Albiki skrev:

Låt $\gamma_1$ och $\gamma_2$ vara två olika orienterade kurvor som båda förbinder samma två fixerade punkter A och B i planet; kurvan $\gamma_1$ startar i punkten A och slutar i punkten B, medan kurvan $-\gamma_2$ startar i punkten B och slutar i punkten A. Tillsammans bildar $\gamma_1 + (-\gamma_2)$ en enkel sluten kurva som börjar i A och slutar i A.

    $\displaystyle\oint_{\gamma_1+\left(-\gamma_2\right)} = \oint_{\gamma_1} + \oint_{-\gamma_2} = \oint_{\gamma_1}-\oint_{\gamma_2} = I\left(\gamma_1\right) - I\left(\gamma_2\right).$

Om funktionen $I(\gamma)$ är konstant så ser du att

    $\displaystyle\oint_{\Gamma}P\,dx+Q\,dy = 0$

för varje enkel sluten kurva $\Gamma$ i planet. Vad har Greens teorem att säga om detta? Här är det viktigt att notera att kurvintegralen är noll för varje enkel sluten kurva, med betoning på "varje". Kurvan kan vara "stor" eller "liten" det spelar ingen roll: kurvintegralen är noll.

Från det du säger skulle jag säga att ${\int }_{}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy={\int }_{}0dxdy=0$, alltså att delQ/delx måste vara lika med delP/dely (för varje sluten kurva, men det är ekvivalent med att kurvintegralen oberoende av vägen), men jag vet inte om det är ett tillräckligt starkt argument för att visa höger implikationen?

Alright, men jag tror jag förstår ditt resonemang, men hur går det här ihop med den andra satsen jag skrev? Betyder det att alla fält som är oberoende av vägen har potentialer av C^2? eller är jag ute och cyklar nu...?

Jag är inte helt säker på att jag förstår vad du undrar, men ingenstans i ditt ursprungsinlägg pratar man om någon $C^1$-funktion? Däremot är den första "satsen" lite ostadigt formulerad. Jag ska ge dig en något mer precis formulering:

Låt $S$ vara en öppen enkelt sammanhängande mängd i planet och låt $f(x,y)=P(x,y)\hat{x}+Q(x,y)\hat{y}$ vara ett kontinuerligt differentierbart fält på $S$. Då är $f$ en gradient på $S$ om och endast om

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ överallt på $S$

Notera att regularitetskraven på $f$ och $S$ ingår i förutsättningen. det är inte en implikation åt något håll.

Edit: Ah, du kanske tänker på parameterframställningen av kurvan Eller kanske undrar du om det finns någon potentialfunktion $U$ som inte är $C^2$?

HaCurry skrev:

Albiki skrev:

Visa spoiler

Låt $\gamma_1$ och $\gamma_2$ vara två olika orienterade kurvor som båda förbinder samma två fixerade punkter A och B i planet; kurvan $\gamma_1$ startar i punkten A och slutar i punkten B, medan kurvan $-\gamma_2$ startar i punkten B och slutar i punkten A. Tillsammans bildar $\gamma_1 + (-\gamma_2)$ en enkel sluten kurva som börjar i A och slutar i A.

    $\displaystyle\oint_{\gamma_1+\left(-\gamma_2\right)} = \oint_{\gamma_1} + \oint_{-\gamma_2} = \oint_{\gamma_1}-\oint_{\gamma_2} = I\left(\gamma_1\right) - I\left(\gamma_2\right).$

Om funktionen $I(\gamma)$ är konstant så ser du att

    $\displaystyle\oint_{\Gamma}P\,dx+Q\,dy = 0$

för varje enkel sluten kurva $\Gamma$ i planet. Vad har Greens teorem att säga om detta? Här är det viktigt att notera att kurvintegralen är noll för varje enkel sluten kurva, med betoning på "varje". Kurvan kan vara "stor" eller "liten" det spelar ingen roll: kurvintegralen är noll.

 

Från det du säger skulle jag säga att ${\int }_{}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy={\int }_{}0dxdy=0$, alltså att delQ/delx måste vara lika med delP/dely (för varje sluten kurva, men det är ekvivalent med att kurvintegralen oberoende av vägen), men jag vet inte om det är ett tillräckligt starkt argument för att visa höger implikationen?

Alright, men jag tror jag förstår ditt resonemang, men hur går det här ihop med den andra satsen jag skrev? Betyder det att alla fält som är oberoende av vägen har potentialer av C^2? eller är jag ute och cyklar nu...?

Jag tror att du missar den viktiga poängen här. Greens sats kopplar ihop kurvintegralen med en viss dubbelintegral

    $\displaystyle\oint_\Gamma P\,dx+Q\,dy = \iint_D \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\,dxdy$

där $\Gamma = \partial D$.

I mitt inlägg skrev jag att kurvintegralen är noll oavsett val av enkel sluten kurva $\Gamma$. Det enda sättet som det är möjligt är om integranden i dubbelintegralen är identiskt lika med noll över hela planet, eller över en öppen mängd $\Omega$ som innehåller alla kurvor $\Gamma$ och deras "inre" som kan komma i fråga.

Alltså:

    $\displaystyle\oint_\Gamma = 0 \text{ for alla }\Gamma \implies \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}\ , \quad(x,y)\in \Omega.$

Vad gäller din fråga om potentialfunktion kan jag säga detta.

Du utgår från att vektorfältet $(P,Q)$ kan representeras av en potentialfunktion $U$, vilket betyder att

    $\displaystyle P = \frac{\partial U}{\partial x} \text{ och } Q = \frac{\partial U}{\partial y}$.

Om potentialfunktionen är av klass $\mathcal{C}^2$ så är dess blandade partiella andraderivator lika vilket via Greens sats medför att kurvintegralen

    $\displaystyle\oint_{\Gamma} P\,dx+Q\,dy = 0$

för varje enkel sluten kurva $\Gamma$.

Om potentialfunktionen inte är av klass $\mathcal{C}^2$ så är du inte garanterad att de blandade partiella andraderivatorna är lika och då är du följaktligen inte heller garanterad att kurvintegralen alltid är noll; om potentialfunktionen inte är av klass $\mathcal{C}^2$ så kan det finnas enkla slutna kurvor för vilka kurvintegralen ej är lika med noll.

Tack Albiki och Jroth, jag ska se till att läsa igenom era svar, men för tillfället verkar inte saker passera hjärnan, tror jag behöver ta en paus... Så jag återkommer!

Tänk på att Greens formel är en vidareutveckling av Analysens fundamentalsats till det tvådimensionella fallet.

Analysens fundamentalsats kopplar ihop en funktions värden på randen till ett intervall med en integral över intervallet:

    $\displaystyle F\left(b\right)-F\left(a\right) = \int_{a}^{b} F^{\prime}\left(t\right)\,dt$

• Differensen i det endimensionella fallet $F(b)-F(a)$ motsvaras i det tvådimensionella fallet av kurvintegralen $\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy$
• Integralen i det endimensionella fallet $\int_{a}^{b} F^{\prime}(t)\,dt$ motsvaras i det tvådimensionella fallet av dubbelintegralen $\iint_{D}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\,dxdy$