9 svar
80 visningar
DrCheng är nöjd med hjälpen!
DrCheng 84
Postad: 13 feb 2018

Hur hålls en satellit i orbital

Hej!

Om satelliten attraheras mot jorden genom gravitationskraften måste en centrifugalkraft av motsvarande kraft hålla satelliten på plats?

På bilden är ju enbart en kraft inritad? Alltså varför skrivs inte den motsvarande kraften ”utåt” in i bilden utan enbart gravitationskraften?

Vänlig hälsning

Utan någon yttre kraft fortsätter ett föremål i samma riktning och med samma hastighet. Nu skall satelliten svänga hela tiden för att behålla sin bana, d v s den behöver utsättas för en kraft för att inte fortsätta bort från jorden.

Det finns inte någon kraft utåt - centrifugalkraften som man känner när man t ex går på Liseberg beror på att man då befinner sig i ett roterande koordinatsystem. Om man ser på situationen utifrån finns det bara en kraft som drar en inåt.

PeBo 338
Postad: 13 feb 2018

Smaragdalena har rätt, men jag tänkte lägga till ett par saker som jag tror kan hjälpa till med förståelsen.

Svaret på din fråga är, kanske något förånande, att den inte hålls på plats, och att den ständigt är i fritt fall in mot jordens centrum. Din intuition är alltså rätt, och det är en väldigt bra fråga.

Det är ganska vanligt att man ställer upp problem av det här slaget och konstaterar att det måste finnas krafter som "tar ut varandra" för att systemet ska vara i jämvikt; det känns som att det är från det perspektivet du ser saker. Men, tänker man steget längre så kommer man ihåg att om krafterna inte är balanserade så ger graften upphov till en acceleration. Det är det som är svaret i ditt fall. Man har inte balanserade krafter, och det som händer är att satelliten accelereras. I vilken riktning? Jo inåt, mot centrum. Man kan ganska enkelt se hur det går till. Det betyder inte att den ramlar ner på jorden, för den har en riktning i sidled också.

Man kan enklast se vad det är som händer genom att beskriva cirkelrörelsen för en satellit på avståndet R från jordens centrum i koordinater i x,y-planet som 

(x,y) =R*cos2πTt, R*sin2πTt

Man ser där att vid tiden 0 har den positionen R till höger (efter x-axeln), och vid tiden T/4 har den positionen rakt upp (efter y-axeln). Den rör sig ett varv runt jorden på tiden T. För att hitta hastigheten den har så deriverar man positionen, varje koordinat för sig, med avseende på t.

vx, vy=ddtR*cos2πTt, R*sin2πTt=-R*2πT*sin2πTt, R*2πT*cos2πTt

Tittar man nu vid tiden 0 så har hastigheten riktning i positiv y-led, precis som den röda pilen i bilden du använde i trådstarten. Det är ganska lätt att känna att det stämmer med intuitionen. Satelliten rör sig moturs och hastighetsvektorn är vinkelrät mot riktningen mot jordens centrum (den gula pilen i din bild). För att få accelerationen vill vi ha andraderivatan för positionen med avseende på tid, dvs

a =ax,ay=ddtvx, vy=d2dt2x, y=d2dt2R*cos2πTt, R*sin2πTt=-R*2πT2*cos2πTt, -R*2πT2*sin2πTt=-2πT2x,y

Så man ser att när Satelliten befinner sig i cirkulär rörelse så är accelerationen riktad in mot jordens centrum och har storleken 2πT2in mot jordens centrum.

Om man tycker att derivator av det här slaget är lite magiska och behöver mer stöd för sin intuition så kan man bara rita upp hastighetsvektorn vid tiden t=0, och sen vid en lite senare tidpunkt, någon bråkdel av avståndet upp från x-axeln, där ser man att hastigheten är riktad lite mer till vänster. Om man konstruerar skillnaden mellan dessa hastighetsvektorer och delar med tiden så kan man med ett rent geometriskt argument räkna fram att hastigheten ständigt ändras i riktning in mot jorden.

Precis som Smaragdalena säger är det också lite besvärligt att blanda in en centrifugalkraft eftersom det är en virtuell kraft som finns i ett koordinatsystem som följer med satelliten. Det koordinatsystemet är dock inte ett "inertialsystem", dvs det är accelererat och det finns en hel del "konstig" fysik som händer där inne. Allt ser annorlunda ut -- rörelsemängd är inte bevarad över tid, kastparabler ser annorlunda ut. Ett gyro (en sak med rörelsemängdsmoment) beter sig på ett sätt som skvallrar om att det inte är ett inertialsystem, och så vidare.

Men för att sammanfatta -- din fråga har det enkla svaret att satelliten inte befinner sig i vila utan i fritt fall in mot jorden. Detta fria fall sker med en acceleration som har ett konstant belopp, men som ständigt ändrar riktning.

Hoppas att det var begripligt.

DrCheng 84
Postad: 13 feb 2018
PeBo skrev :

Smaragdalena har rätt, men jag tänkte lägga till ett par saker som jag tror kan hjälpa till med förståelsen.

Svaret på din fråga är, kanske något förånande, att den inte hålls på plats, och att den ständigt är i fritt fall in mot jordens centrum. Din intuition är alltså rätt, och det är en väldigt bra fråga.

Det är ganska vanligt att man ställer upp problem av det här slaget och konstaterar att det måste finnas krafter som "tar ut varandra" för att systemet ska vara i jämvikt; det känns som att det är från det perspektivet du ser saker. Men, tänker man steget längre så kommer man ihåg att om krafterna inte är balanserade så ger graften upphov till en acceleration. Det är det som är svaret i ditt fall. Man har inte balanserade krafter, och det som händer är att satelliten accelereras. I vilken riktning? Jo inåt, mot centrum. Man kan ganska enkelt se hur det går till. Det betyder inte att den ramlar ner på jorden, för den har en riktning i sidled också.

Man kan enklast se vad det är som händer genom att beskriva cirkelrörelsen för en satellit på avståndet R från jordens centrum i koordinater i x,y-planet som 

(x,y) =R*cos2πTt, R*sin2πTt

Man ser där att vid tiden 0 har den positionen R till höger (efter x-axeln), och vid tiden T/4 har den positionen rakt upp (efter y-axeln). Den rör sig ett varv runt jorden på tiden T. För att hitta hastigheten den har så deriverar man positionen, varje koordinat för sig, med avseende på t.

vx, vy=ddtR*cos2πTt, R*sin2πTt=-R*2πT*sin2πTt, R*2πT*cos2πTt

Tittar man nu vid tiden 0 så har hastigheten riktning i positiv y-led, precis som den röda pilen i bilden du använde i trådstarten. Det är ganska lätt att känna att det stämmer med intuitionen. Satelliten rör sig moturs och hastighetsvektorn är vinkelrät mot riktningen mot jordens centrum (den gula pilen i din bild). För att få accelerationen vill vi ha andraderivatan för positionen med avseende på tid, dvs

a =ax,ay=ddtvx, vy=d2dt2x, y=d2dt2R*cos2πTt, R*sin2πTt=-R*2πT2*cos2πTt, -R*2πT2*sin2πTt=-2πT2x,y

Så man ser att när Satelliten befinner sig i cirkulär rörelse så är accelerationen riktad in mot jordens centrum och har storleken 2πT2in mot jordens centrum.

Om man tycker att derivator av det här slaget är lite magiska och behöver mer stöd för sin intuition så kan man bara rita upp hastighetsvektorn vid tiden t=0, och sen vid en lite senare tidpunkt, någon bråkdel av avståndet upp från x-axeln, där ser man att hastigheten är riktad lite mer till vänster. Om man konstruerar skillnaden mellan dessa hastighetsvektorer och delar med tiden så kan man med ett rent geometriskt argument räkna fram att hastigheten ständigt ändras i riktning in mot jorden.

Precis som Smaragdalena säger är det också lite besvärligt att blanda in en centrifugalkraft eftersom det är en virtuell kraft som finns i ett koordinatsystem som följer med satelliten. Det koordinatsystemet är dock inte ett "inertialsystem", dvs det är accelererat och det finns en hel del "konstig" fysik som händer där inne. Allt ser annorlunda ut -- rörelsemängd är inte bevarad över tid, kastparabler ser annorlunda ut. Ett gyro (en sak med rörelsemängdsmoment) beter sig på ett sätt som skvallrar om att det inte är ett inertialsystem, och så vidare.

Men för att sammanfatta -- din fråga har det enkla svaret att satelliten inte befinner sig i vila utan i fritt fall in mot jorden. Detta fria fall sker med en acceleration som har ett konstant belopp, men som ständigt äSmaragdalena skrev :
Utan någon yttre kraft fortsätter ett föremål i samma riktning och med samma hastighet. Nu skall satelliten svänga hela tiden för att behålla sin bana, d v s den behöver utsättas för en kraft för att inte fortsätta bort från jorden.
Det finns inte någon kraft utåt - centrifugalkraften som man känner när man t ex går på Liseberg beror på att man då befinner sig i ett roterande koordinatsystem. Om man ser på situationen utifrån finns det bara en kraft som drar en inåt.
ndrar riktnin.

Hoppas att det var begripligt.

 

 

Vilket utomordentligt svar! 

Ska lusläsa det ikväll, frågeställningen uppkom i samband med raketuppskjutningarna i förra veckan. Känns lite oklart just att satelliten ständigt accelerar mot jorden utan att krascha.

Jag var/är nämligen under den uppfattningen att det är ju centrifugalkraften som höll satelliten i bana. Alltså att gravitationskraften = (accelerationcentripedal•m)

Åker jag likt Smaragdalena beskrev det en karusell på Liseberg så trycks jag ju ner mot sätet i en loop inte dras jag mot mittpunken av loopen? 

Trevlig kväll!! 

pi-streck=en-halv 518
Postad: 13 feb 2018

När du känner att "du trycks ner i sätet", är det just att sätet trycker upp mot dig!

DrCheng 84
Postad: 13 feb 2018
pi-streck=en-halv skrev :

När du känner att "du trycks ner i sätet", är det just att sätet trycker upp mot dig!

Där föll polletten, stort tack o godkväll!! 

PeBo 338
Postad: 13 feb 2018

Jo, den där känslan av att man ju inte kan accelerera hela tiden utan att krascha mot jorden känner jag igen. Du har ju alla fomler där, så det är ju bara att beräkna kollisionstiden -- den blir -- ja, det händer typ aldrig. Om man inte haft en rörelse i sidled så kanske man kommit till den punkten. Du kan ju fundera över skillnaden mellan mer eller mindre elliptiska banor också. Jag vet att jag någon gång tänkte mig en jordmassa koncentrerad till en punkt, och en satellit koncentrerad till en punkt, och att satelliten faller mot den koncentrerade masspunkten, men bara precis missar och far iväg på andra sidan som en jojo. Det man inser när man tänkt på det ett tag är att man har faktiskt ett ständigt fritt fall, bara olika elliptiska banor. Varken avstånd till jorden, hastighetens belopp eller accelerationens belopp ändras, men riktningen ändras hela tiden. Kraften från gravitationen likaså. Alla de där vektorvärda storheterna följer precis reglerna om tidsderivator också, men man inser att beloppet måste inte ändras, det räcker med att riktningen ändras. Här har du ett system där gravitationens kraft har samma belopp men ändrar riktning konstant. Du har en position som ständigt ändras, en hastighet som ändrar riktning (men inte belopp) och en acceleration som är precis andraderivatan av positionen med avseende på tiden. Allt det där konspirerar så att satelliten befinner sig i ständigt fritt fall men aldrig når jorden. Jag lovar, det är inte att glida på sanningen eller att vinkla beskrivningen utan det är precis sant.

Lägg också märke till att det där pratet om centrifugalkraft är lite missledande -- om du sitter ombord på satelliten så känner du ju inget annat än ett viktlöst tillstånd. Man får inte tro att man snurras runt som i en centrifug där ute. Det faktum att du känner dig viktlös borde vara ytterligare ett stöd för intuitionen för att förstå att man befinner sig i fritt fall. En omloppsbana är bara ett oändligt långt fritt fall.

DrCheng 84
Postad: 14 feb 2018
PeBo skrev :

Jo, den där känslan av att man ju inte kan accelerera hela tiden utan att krascha mot jorden känner jag igen. Du har ju alla fomler där, så det är ju bara att beräkna kollisionstiden -- den blir -- ja, det händer typ aldrig. Om man inte haft en rörelse i sidled så kanske man kommit till den punkten. Du kan ju fundera över skillnaden mellan mer eller mindre elliptiska banor också. Jag vet att jag någon gång tänkte mig en jordmassa koncentrerad till en punkt, och en satellit koncentrerad till en punkt, och att satelliten faller mot den koncentrerade masspunkten, men bara precis missar och far iväg på andra sidan som en jojo. Det man inser när man tänkt på det ett tag är att man har faktiskt ett ständigt fritt fall, bara olika elliptiska banor. Varken avstånd till jorden, hastighetens belopp eller accelerationens belopp ändras, men riktningen ändras hela tiden. Kraften från gravitationen likaså. Alla de där vektorvärda storheterna följer precis reglerna om tidsderivator också, men man inser att beloppet måste inte ändras, det räcker med att riktningen ändras. Här har du ett system där gravitationens kraft har samma belopp men ändrar riktning konstant. Du har en position som ständigt ändras, en hastighet som ändrar riktning (men inte belopp) och en acceleration som är precis andraderivatan av positionen med avseende på tiden. Allt det där konspirerar så att satelliten befinner sig i ständigt fritt fall men aldrig når jorden. Jag lovar, det är inte att glida på sanningen eller att vinkla beskrivningen utan det är precis sant.

Lägg också märke till att det där pratet om centrifugalkraft är lite missledande -- om du sitter ombord på satelliten så känner du ju inget annat än ett viktlöst tillstånd. Man får inte tro att man snurras runt som i en centrifug där ute. Det faktum att du känner dig viktlös borde vara ytterligare ett stöd för intuitionen för att förstå att man befinner sig i fritt fall. En omloppsbana är bara ett oändligt långt fritt fall.

Tror jag förstår faktiskt, alltså riktningen på accelerationen är vinkelrät mot den momentana positionen som ändras konstant. Därav så faller satelliten fritt hela tiden men fallet i fråga byter riktning. 

Enormt tack för hjälpen PeBo, önskat dig en trevlig dag!

PeBo 338
Postad: 14 feb 2018
DrCheng skrev :

Tror jag förstår faktiskt, alltså riktningen på accelerationen är vinkelrät mot den momentana positionen som ändras konstant. Därav så faller satelliten fritt hela tiden men fallet i fråga byter riktning. 

Enormt tack för hjälpen PeBo, önskat dig en trevlig dag!

Nu är jag petig, men det är mest för att det känns konstigt att inte kommentera på det som kan bli ännu mer rätt. Accelerationen är inte vinkelrät mot den momentana positionen, däremot är hastigheten det. Accelerationen är faktiskt motsatt den momentana positionen, dvs rakt in mot jorden. Om du tänker lite till så inser du att en acceleration inte flyttar dig, utan den ger dig en hastighet som flyttar dig. Du kan ha en stor acceleration i negativ riktning utan att röra dig en centimeter i negativ riktning. Tänk bara på vad som händer när man bromsar en bil; ändringen av hastigheten har en negativ riktning, men hastigheten är fortfarande positiv.

Tänk en gång till på satelliten och föreställ dig vad som händer om vi plötsligt stänger av gravitationen. Satelliten kommer då att fortsätta i tangentens riktning. Den riktningen tar dig bort från jorden. Jämför med bilen; du kan bromsa bilen massor (lägga på en negativ acceleration) utan att bilen går baklänges. Sätt nu på gravitationen igen och tänk på vad den gör med satelliten. Den ändrar hastigheten så att den inte följer tangentens riktning, den riktning som satelliten vill ha om det inte finns några krafter som verkar på den. När man bromsar bilen accelereras den i negativ riktning med en hastighet i positiv riktning (men minskande). När gravitationen verkar på satelliten så accelereras den mot jorden, men hastigheten är vinkelrät mot accelerationen hela tiden, så hastigheten minskar inte utan vrids bara runt så att den följer en cirkulär bana. Det är också därför som man för varje avstånd från jorden har en hastighet som är den i vilken satelliten får en cirkulär bana. Det finns några specialfall av detta -- satelliter som ligger ovanför ekvatorn på en viss höjd får en cirkulär bana med en hastighet som precis följer jordens rotation -- dessa kallas geostationära. Höjden på den banan är ca 36 km. Jag lämnar det som en övningsuppgift att räkna räkna fram den höjden.

DrCheng 84
Postad: 14 feb 2018
PeBo skrev :
DrCheng skrev :

Tror jag förstår faktiskt, alltså riktningen på accelerationen är vinkelrät mot den momentana positionen som ändras konstant. Därav så faller satelliten fritt hela tiden men fallet i fråga byter riktning. 

Enormt tack för hjälpen PeBo, önskat dig en trevlig dag!

Nu är jag petig, men det är mest för att det känns konstigt att inte kommentera på det som kan bli ännu mer rätt. Accelerationen är inte vinkelrät mot den momentana positionen, däremot är hastigheten det. Accelerationen är faktiskt motsatt den momentana positionen, dvs rakt in mot jorden. Om du tänker lite till så inser du att en acceleration inte flyttar dig, utan den ger dig en hastighet som flyttar dig. Du kan ha en stor acceleration i negativ riktning utan att röra dig en centimeter i negativ riktning. Tänk bara på vad som händer när man bromsar en bil; ändringen av hastigheten har en negativ riktning, men hastigheten är fortfarande positiv.

Tänk en gång till på satelliten och föreställ dig vad som händer om vi plötsligt stänger av gravitationen. Satelliten kommer då att fortsätta i tangentens riktning. Den riktningen tar dig bort från jorden. Jämför med bilen; du kan bromsa bilen massor (lägga på en negativ acceleration) utan att bilen går baklänges. Sätt nu på gravitationen igen och tänk på vad den gör med satelliten. Den ändrar hastigheten så att den inte följer tangentens riktning, den riktning som satelliten vill ha om det inte finns några krafter som verkar på den. När man bromsar bilen accelereras den i negativ riktning med en hastighet i positiv riktning (men minskande). När gravitationen verkar på satelliten så accelereras den mot jorden, men hastigheten är vinkelrät mot accelerationen hela tiden, så hastigheten minskar inte utan vrids bara runt så att den följer en cirkulär bana. Det är också därför som man för varje avstånd från jorden har en hastighet som är den i vilken satelliten får en cirkulär bana. Det finns några specialfall av detta -- satelliter som ligger ovanför ekvatorn på en viss höjd får en cirkulär bana med en hastighet som precis följer jordens rotation -- dessa kallas geostationära. Höjden på den banan är ca 36 km. Jag lämnar det som en övningsuppgift att räkna räkna fram den höjden.

Nu sitter det, jag är med på banan! Ännu en gång stort TACK, mycket pedagogiskt och suggesitivt förklarat. Trevlig kväll 

Svara Avbryt
Close