Hur hittar jag alla komplexa lösningar till ((z-i)^3) - 8i = 0 med ledning w = z - i

Kan du hitta en lösning?

jag har ett exempellösning på uppgiften men problemet är att jag inte förstår mig på den, närmare bestämt där det substituerar w.

Är du med på hur de får fram de tre lösningarna i w?

För varje lösning får du sedan substituera tillbaka till z,

z = w + i.

ja det är jag med på, det är snarare steget mellan w^3 = -8i och r^(3)e^(i30) = 8e^(i3$\mathrm{\pi }$/2) som jag inte förstår mig på

Båda leden skrivs på polär form. Med

w = r*e^(i*v)

blir

w^3 = r^3*e^(3*i*v)

-8i är på polär form t.ex

-8i = 8*e^(i*3π/2)

Så w^3 = -8i är då samma sak som

r^3*e^(3*i*v) = 8*e^(i*3π/2)

Okej, tack så mycket! det underlättade!