Hur kan de bli såhär i den här ekvationen?

Hej!

Problemtexten verkar slarva rejält: Den skriver uttrycket

    $\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}-\frac{x_{i}^2}{2}$

när den verkar mena uttrycket

    $\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{n}x_{i}-0.5x_{i}^{2})\ .$

Problemet handlar om att finna de positiva tal $x_1$, $x_2$, ..., $x_{n}$ som är sådana att summan

    $\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{n}x_{i}-0.5x_{i}^{2})$

blir så stor som möjligt. Denna summa är lika med nyttofunktionen (utility) i detta problem.

En kvadratkomplettering av andragradspolynomet

    $\frac{1}{n}z-0.5z^2$

ger att det kan skrivas

    $\frac{0.5}{n^2}-0.5(z-\frac{1}{n})^2\ .$

Detta visar att varje term i summan som mest kan vara lika med talet $\frac{0.5}{n^2}$, så att nyttofunktionen som mest kan vara lika med $0.5/n$; nyttofunktionen är maximal när alla x-värden är sådana att

    $x_{i} - \frac{1}{n} = 0\ .$

Dessa optimala x-värden betecknas $x_{1}^{*}$, $x_{2}^{*}$, ..., $x_{n}^{*}$ och är tydligen alla lika med talet $\frac{1}{n}\ .$ Som sagt är nyttofunktionens största möjliga värde lika med $0.5/n,$ och inte $\frac{2n-1}{n^2}\ .$

Albiki