Hur kan jag bekräfta extrempunktens karaktär?

För funktionerna f och g gäller att f(x) = x^a och g(x) = ln a (a>0). Bestäm eventuella extrempunker till funktionen h(x) = f(x) * g(x).

Jag har kommit så här långt:

$h' (x) = f' (x) * g (x) + f (x) * g' (x) \to h' (x) = a x^{(a - 1)} * \ln x + \frac{x^{a}}{x} . D e t t a k a n f ö r e n k l a s t i l l : h' (x) = \frac{x^{a}}{x} (\ln x * a + 1) d ä r d e r i v a \tan ä r n o l l o m x = e^{(- \frac{1}{a})}$

Alltså har funktionen någon extrempunkt vid detta x värde, vilket stämmer enligt facit. För att bekräfta om det är en minimi eller maximipunkt känns dock väldigt svårt då det blir ganska knepigt att fortsätta med kedjeregeln. Hur kan jag gå vidare?

Jag antar att $g(x) = \ln x$ (eller $\ln (ax)$ ), inte $\ln a$

Om du inte vill derivera kan du köra på teckentabell.

Vad är derivatans tecken till vänster och höger om extrempunkten? Vad säger det om extrempunkten? För höger kan du använda den trevliga punkten $x=1$ som alltid kommer vara större än $\displaystyle e^{-\frac 1a}$ eftersom $a>0$ .

Sedan skulle jag använda punkten $\displaystyle \frac 12 e^{-\frac 1a}$ för att få något till vänster om extrempunkten (garanterat att vara mindre!).

Hur kan jag resonera om att punkten till vänster ger ett negativt värde på derivtan? Hur ser jag det?

Anonym_15 skrev:
Hur kan jag resonera om att punkten till vänster ger ett negativt värde på derivtan? Hur ser jag det?

Du ser det genom att beräkna derivatans vörde för någon punkt till vänster. Förslagsvis den punkt AlexMu föreslog i svar #2.

Dvs beräkna $h'(\frac{1}{2}e^{-1/a})$

’Kan detta stämma?

Ser bra ut tycker jag!

Svara

Visa senaste svar