Hur kan man se att detta är en bijektion?
Om man gör ett variabelbyte så kommer vi att få $D$-område och får således $$D={(u,v,w) : u^2+v^2+w^2 \le 1}}$$. Men jag måste ju se om detta är en bijektion. Hur kollar man det? (jag vet vad definitionen för bijektion är, men vet inte hur jag ska se det med hjälp av ovanstående?)
---
ofT: hur får man till detta med dollar-tecknerna här på pluggakuten?
Två dollartecken före, två dollartecken efter. Koden måste vara perfekt annars så fungerar det itne. \{ för måsvingar och \leq för mindre-lika-med
Om bijektionen skjulle jag nöja mig med att det första området är en ellipsoid och det andra området är en sfär och transformationer som omvandlar ellipsoider till sfärer (andra ellipsoider) är bijektiva.
Sedan kan du såklart även etablera att det är en bijektion genom att skriva ut transformationen explicit i matrisform (då det är en linjär transofmration) och ta determinanten av transformationen och se att den blir något annat än 0 men är inte egentligen nödvändigt.
SeriousCephalopod skrev:Två dollartecken före, två dollartecken efter. Koden måste vara perfekt annars så fungerar det itne. \{ för måsvingar och \leq för mindre-lika-med
Om bijektionen skjulle jag nöja mig med att det första området är en ellipsoid och det andra området är en sfär och transformationer som omvandlar ellipsoider till sfärer (andra ellipsoider) är bijektiva.
Sedan kan du såklart även etablera att det är en bijektion genom att skriva ut transformationen explicit i matrisform (då det är en linjär transofmration) och ta determinanten av transformationen och se att den blir något annat än 0 men är inte egentligen nödvändigt.
Intressant. Vill/orkar du visa detta med linjär transformation?
Tack ang dollartecknet.
Du bör ju själv försöka komma på variabelbytet först.
Men det första området är som sagt en ellipsoid
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x+-+1)%5E2+%2B+y%5E2+%2F+4+%2B(z+-+3)%5E2+%2F+2+%3D+1
och det andra området en sfär. För att få från en ellipsoid till en sfär så komprimerar man eller drar ut ellipsoiden längsmed dess huvudaxlar (man pressar den till den är rund) och kompressioner/utdragningar är per definition linjära transformationer. Utöver detta behöver man även göra en translation, flytta kroppens mittpunkt, men att sådana transformationer är bijektiva är ju naturligt.
SeriousCephalopod skrev:Du bör ju själv försöka komma på variabelbytet först.
Men det första området är som sagt en ellipsoid
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x+-+1)%5E2+%2B+y%5E2+%2F+4+%2B(z+-+3)%5E2+%2F+2+%3D+1
och det andra området en sfär. För att få från en ellipsoid till en sfär så komprimerar man eller drar ut ellipsoiden längsmed dess huvudaxlar (man pressar den till den är rund) och kompressioner/utdragningar är per definition linjära transformationer. Utöver detta behöver man även göra en translation, flytta kroppens mittpunkt, men att sådana transformationer är bijektiva är ju naturligt.
menar du att med så har vi en ellipis? och när vi variabelbyter till så får vi en sfär?
Ja, området i -koordinaterna är en ellipsoid (tredimensionell ellips) och efter variabelbytet till -koordinaterna får vi en sfär. Detta gör vi efter som sfärer är jättemycket lättare att integrera.
AlvinB skrev:Ja, området i -koordinaterna är en ellipsoid (tredimensionell ellips) och efter variabelbytet till -koordinaterna får vi en sfär. Detta gör vi efter som sfärer är jättemycket lättare att integrera.
Oh! Tack så mycket :0)
