Hur kan partikulärlösningen identifieras om C inte är lika med 0?

En differentialekvation följer samma räknelagar som "vanliga" ekvationer.

Om du vill får du multiplicera båda led med 2134, då får du

$2134y^\prime+6402y=21340e^{2x}$

Men det ser ju lite onödigt krångligt ut. Därför har man enats om att alltid förenkla så långt att $y^\prime$ inte har en koefficient framför sig. Helst vill vi att det ska se ut så här:

$y^\prime+p(x)y=f(x)$  (Linjär differentialekvation av första ordningen)

En första ordningens differentialekvation har en allmän lösning med en fri konstant, i det här fallet $C$ . Ibland säger man att ekvationen ska ha 1 frihetsgrad. Om konstanten bestäms via ett begynnelsevillkor eller på något annat vis får man en specifik lösning, som alltså fortfarande är en lösning till differentialekvationen. Men det är inte längre en allmän lösning. Vi har förlorat vår frihet!

Den allmänna lösningen till en linjär differentialekvation kan alltid skrivas som summan av en partikulärlösning och den homogena lösningen, där den fria konstanten (till exempel $C$) ALLTID multiplicerar den homogena lösningen. Om du inte har en godtycklig konstant i lösningen saknas det alltså en frihetsgrad och vi har inte längre en fullständig (allmän) lösning. Är du med?

Notera också att flera delar av vårt resonemang bygger på antagandet att differentialekvationen är en linjär differentialekvation av första ordningen. Vilket är ett mycket strängare antagande att uppgiftstextens (förmodade) felformulering.

Så det ska alltid finnas en godtycklig konstant framför y - termen för en sådan här uppgift? Tror inte jag hänger med 100%

En linjär differentialekvation av första ordningen kan skrivas

$y^\prime+f(x)=g(x)$

Den har lösningarna (den allmänna lösningen):

$y(x)=e^{-F(x)}\left(\int_e^{F(x)}g(x)\,dx+C)\right)$, där $F(x)=\int f(x)\,dx$

I uppgiften börjar vi baklänges, vi får veta att lösningen till en linjär differentialekvation av första ordningen är:

$y=Ce^{-3x}+2e^{2x}$

Det innebär till exempel att 

$y=5e^{-3x}+2e^{2x}$ samt $y=2e^{2x}$ båda är lösningar till ekvationen.

Lösningen till en linjär differentialekvationen av första ordningen kan skrivas som

$y=y_h+y_p$, dvs summan av den homogena lösningen och den partikulära lösningen.

Eftersom $C$ sitter på $e^{-3x}$ förstår vi att det är den termen som motsvarar den homogena lösningen.

Jag vet inte om det svarar på din fråga, men vi ska inte ha någon godtycklig konstant framför y, y ges ju direkt av uppgiften.